Взаимнокорреляционная функция

Взаимнокорреляционная функция — стандартный метод оценки степени корреляции двух последовательностей. Она часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее известной. Рассмотрим два ряда f и g. Взаимная корреляция определяется по формуле:

( f ⋆ g ) i   = d e f   ∑ j f j ∗ g i + j {displaystyle (fstar g)_{i} {stackrel {mathrm {def} }{=}} sum _{j}f_{j}^{*},g_{i+j}} ,

где i {displaystyle i} — сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение. В общем случае, для непрерывных функций f (t) и g (t) взаимная корреляция определяется как

( f ⋆ g ) ( t )   = d e f ∫ − ∞ ∞ f ∗ ( τ )   g ( t + τ ) d τ , {displaystyle (fstar g)(t) {stackrel {mathrm {def} }{=}}int _{-infty }^{infty }f^{*}( au ) g(t+ au ),d au ,}

Если X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} — два независимых случайных числа с функциями распределения вероятностей соответственно f и g, тогда взаимная корреляция f ⋆ {displaystyle star } g соответствует распределению вероятностей выражения − X + Y {displaystyle -X+Y} . Напротив, свёртка f ∗ {displaystyle *} g соответствует распределению вероятностей суммы X + Y {displaystyle X+Y} .

Свойства

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязаны:

f ( t ) ⋆ g ( t ) = f ∗ ( − t ) ∗ g ( t ) {displaystyle f(t)star g(t)=f^{*}(-t)*g(t)}

поэтому, если функции f и g чётны, то

( f ⋆ g ) = f ∗ g {displaystyle (fstar g)=f*g}

Также: ( f ⋆ g ) ⋆ ( f ⋆ g ) = ( f ⋆ f ) ⋆ ( g ⋆ g ) {displaystyle (fstar g)star (fstar g)=(fstar f)star (gstar g)}

По аналогии с теоремой свёртки взаимная корреляция удовлетворяет

F [ f ⋆ g ] = ( F [ f ] ) ∗ ⋅ ( F [ g ] ) {displaystyle {mathcal {F}}[fstar g]=({mathcal {F}}[f])^{*}cdot ({mathcal {F}}[g])}

где F {displaystyle {mathcal {F}}} означает преобразование Фурье. Данное свойство часто используется вместе с алгоритмами быстрого преобразования Фурье для эффективного вычисления величины взаимной корреляции.

Используется при обработке сигналов, например, для распознавания отраженного от объекта локационного сигнала (радаров, сонаров) в условиях помех. Также используется для анализа случайных процессов, например, в измерениях и статистике.