Усечённый кубооктаэдр

Усечённый кубооктаэдр, усечённый кубоктаэдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника, 6 гранями в виде правильного восьмиугольника, 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром.

Другие названия

Этот многогранник имеет несколько названий:

• Усечённый кубооктаэдр (Иоганн Кеплер)
• Ромбоусечённый кубооктаэдр (Магнус Веннинджер)
• Большой ромбокубооктаэдр (Роберт Вильямс )
• Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель )
• Общеусечённый куб (omnitruncated cube) или скос-усечённый куб (cantitruncated cube) (Норман Джонсон)

Название усечённый кубооктаэдр, данное первоначально Иоганном Кеплером, несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками. Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.

Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра, который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр.

Также существует невыпуклый однородный многогранник с тем же именем — невыпуклый большой ромбокубооктаэдр.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Площадь и объём

Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:

A = 12 ( 2 + 2 + 3 ) a 2 ≈ 61.7551724 a 2 {displaystyle A=12left(2+{sqrt {2}}+{sqrt {3}}
ight)a^{2}approx 61.7551724a^{2}} V = ( 22 + 14 2 ) a 3 ≈ 41.7989899 a 3 . {displaystyle V=left(22+14{sqrt {2}}
ight)a^{3}approx 41.7989899a^{3}.}

Рассечение

Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 квадратными куполами над первичными квадратными гранями, 8 треугольными куполами над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.

Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать тороиды Стюарта рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию.

Однородные раскраски

Существует только одна однородная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.

Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.

Ортогональные проекции

Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в A2 и B2 плоскости Коксетера с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.

Сферические мозаики

Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.

Связанные многогранники

Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Для p < 6 члены последовательности являются общеусечёнными многогранниками (зоноэдрами), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с усечённой трисемиугольной мозаики.

Граф усечённого кубооктаэдра

В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра) — это граф вершин и рёбер усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, нульсимметричен и является кубическим архимедовым графом .