Толерантный интервал

Толерантный интервал — термин, используемый в математической статистике при определении на основе выборочных данных интервала, который при заданном доверительным уровне содержит заданную вероятностную меру неизвестной функции распределения.

Понятия толерантного и доверительного интервалов близки друг к другу.

Толерантный интервал является интервалом в выборочном пространстве наблюденных случайных величин. Он определяется достаточной статистикой на основе требования о том, чтобы при заданном доверительном уровне содержать вероятностную меру статистического распределения, не меньшую заданного уровня.

Доверительный интервал определяется для некоторого параметра функции распределения и является интервалом в параметрическом пространстве. Он определяется достаточной статистикой на основе требования о том, чтобы вероятность того, что он содержит истинное значение неизвестного параметра была не меньше доверительного уровня.

Определение

Пусть случайная величина Y {displaystyle Y} не зависит от X {displaystyle X} и имеет функцию распределения F θ {displaystyle F_{ heta }} . Толерантным интервалом ( β , γ ) {displaystyle (eta ,gamma )} с мерой β {displaystyle eta } и уровнем доверия γ {displaystyle gamma } называется интервал [ L 1 , β , γ ( X ) , L 2 , β , γ ( X ) ] {displaystyle left[L_{1,eta ,gamma }(X),L_{2,eta ,gamma }(X)
ight]} , для которого выполняется условие P θ { P θ { L 1 , β , γ ( X ) ⩽ Y ⩽ L 2 , β , γ ( X ) | X } ⩾ β } ⩾ γ {displaystyle P_{ heta }left{P_{ heta }left{L_{1,eta ,gamma }(X)leqslant Yleqslant L_{2,eta ,gamma }(X)|X
ight}geqslant eta
ight}geqslant gamma } для всех значений параметра θ {displaystyle heta } .

Пояснения

Пусть ξ {displaystyle xi } — квантиль функции распределения F θ {displaystyle F_{ heta }} обозначается как F − 1 ( ξ ; θ ) {displaystyle F^{-1}(xi ; heta )} . По определению имеем P θ { F − 1 ( ξ 1 ; θ ) ⩽ X ⩽ F − 1 ( ξ 2 ; θ ) } ⩾ ξ 2 − ξ 1 {displaystyle P_{ heta }left{F^{-1}(xi _{1}; heta )leqslant Xleqslant F^{-1}(xi _{2}; heta )
ight}geqslant xi _{2}-xi _{1}} . Интервалом меры β {displaystyle eta } функции распределения F θ {displaystyle F_{ heta }} называется интервал [ F − 1 ( ξ 1 ; θ ) , F − 1 ( ξ 2 ; θ ) ] {displaystyle left[F^{-1}(xi _{1}; heta ),F^{-1}(xi _{2}; heta )
ight]} , если β = ξ 2 − ξ 1 {displaystyle eta =xi _{2}-xi _{1}} .