Точка Лемуана

Точка Лемуана (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается K {displaystyle K} или L {displaystyle L} ) — одна из замечательных точек треугольника.

Определение

У точки Лемуана существует три равносильных определения:

  • точка пересечения прямых, соединяющих каждую вершину треугольника с точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин.
  • точка пересечения симедиан.
  • точка пересечения прямых, соединяющих середины сторон треугольника с серединами соответствующих им высот.

Утверждение о равносильности первых двух определений называется теоремой о симедиане.

Доказательство

Пусть A 1 {displaystyle A_{1}} — точка пересечения касательных в вершинах B {displaystyle B} и C {displaystyle C} к описанной окружности, A M {displaystyle A_{M}} — середина стороны B C {displaystyle BC} . Тогда, так как B C {displaystyle BC} — поляра точки A 1 {displaystyle A_{1}} относительно описанной окружности, а A M {displaystyle A_{M}} — основание перпендикуляра на сторону B C {displaystyle BC} из центра описанной окружности. Из определения поляры следует, что точки A 1 {displaystyle A_{1}} и A M {displaystyle A_{M}} симметричны относительно окружности. Пусть точка A 0 {displaystyle A_{0}} — середина дуги B C {displaystyle BC} описанной окружности, не содержащей точки A {displaystyle A} . Тогда ∠ A 0 A A M = ∠ A 0 A A 1 {displaystyle angle A_{0}AA_{M}=angle A_{0}AA_{1}} , то есть прямая A A 1 {displaystyle AA_{1}} и медиана A A M {displaystyle AA_{M}} симметричны относительно биссектрисы A A 0 {displaystyle AA_{0}} . Аналогично симметричны медианам другие две прямые, построенные таким образом. Но их точка пересечения — точка Лемуана, а, значит, точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан и является точкой пересечения симедиан.

Шестиугольник Лемуана, вписанный в данный опорный треугольник

Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника.

Круги Лемуана

Лемуан доказал, что если прямые линии проходят через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника, то шесть точек пересечения линий и сторон треугольника лежат на одной окружности, или что они лежат на окружности. . Эта окружность теперь известна, как первый круг или окружность Лемуана, или просто как круг Лемуана.. Иными словами, шестиугольник Лемуана, определенный выше, является вписанным в окружность Лемуана.

История

Впервые точку Лемуана (Lemoine Point) обнаружил (1809) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование (1847) Эрнста Вильгельма Гребе (Grebe), в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе (Grebe point). Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки (1873). Росс Хонсберегер (Ross Honsberger) назвал существование точки Лемуана «одним из драгоценных камней в короне современной геометрии».

Свойства

  • Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана.
  • Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.
  • Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.
  • Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к описанной окружности в вершинах треугольника. Этот треугольник называется тангенциальным треугольником.
  • Точке Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан
  • Точке Лемуана изотомически сопряжена его точке Брокара (третьей, в энциклопедии центров треугольника обозначенной как Х(76) ).
  • Точка Лемуана является антиперспектором описанной окружности. Трилинейные поляры точек на описанной окружности проходят через точку Лемуана.
  • Окружность, построенная на отрезке O K {displaystyle OK} ( O {displaystyle O} — центр описанной окружности) как на диаметре, содержит точки Брокара. Эта окружность называется окружностью Брокара.
  • Прямая O K {displaystyle OK} называется осью Брокара. Она содержит точки Аполлония и изогонально сопряжена гиперболе Киперта.
  • Две точки Торричелли и точка Лемуана лежат на одной прямой.
  • Точки Аполлония лежат на прямой, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана. Эта прямая называется осью Брокара.
  • При проективных преобразованиях, сохраняющих описанную окружность треугольника, точка Лемуана будет переходить в точку Лемуана образа этого треугольника.
  • Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана .

Две окружности Лемуана

  • Если провести через точку Лемуана отрезки, антипараллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности ((первой) окружности Лемуана). Точка Лемуана будет её центром.
  • Если провести через точку Лемуана отрезки, параллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности (второй окружности Лемуана).

Координаты

  • Трилинейные координаты точки Лемуана — ( a : b : c ) {displaystyle (a:b:c)} ,
  • барицентрические — ( a 2 : b 2 : c 2 ) {displaystyle (a^{2}:b^{2}:c^{2})} .
Подпишитесь на свежую email рассылку сайта!

Читайте также