Точка Лемуана (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается K {displaystyle K} или L {displaystyle L} ) — одна из замечательных точек треугольника.
У точки Лемуана существует три равносильных определения:
Утверждение о равносильности первых двух определений называется теоремой о симедиане.
Доказательство
Пусть A 1 {displaystyle A_{1}} — точка пересечения касательных в вершинах B {displaystyle B} и C {displaystyle C} к описанной окружности, A M {displaystyle A_{M}} — середина стороны B C {displaystyle BC} . Тогда, так как B C {displaystyle BC} — поляра точки A 1 {displaystyle A_{1}} относительно описанной окружности, а A M {displaystyle A_{M}} — основание перпендикуляра на сторону B C {displaystyle BC} из центра описанной окружности. Из определения поляры следует, что точки A 1 {displaystyle A_{1}} и A M {displaystyle A_{M}} симметричны относительно окружности. Пусть точка A 0 {displaystyle A_{0}} — середина дуги B C {displaystyle BC} описанной окружности, не содержащей точки A {displaystyle A} . Тогда ∠ A 0 A A M = ∠ A 0 A A 1 {displaystyle angle A_{0}AA_{M}=angle A_{0}AA_{1}} , то есть прямая A A 1 {displaystyle AA_{1}} и медиана A A M {displaystyle AA_{M}} симметричны относительно биссектрисы A A 0 {displaystyle AA_{0}} . Аналогично симметричны медианам другие две прямые, построенные таким образом. Но их точка пересечения — точка Лемуана, а, значит, точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан и является точкой пересечения симедиан.
Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника.
Лемуан доказал, что если прямые линии проходят через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника, то шесть точек пересечения линий и сторон треугольника лежат на одной окружности, или что они лежат на окружности. . Эта окружность теперь известна, как первый круг или окружность Лемуана, или просто как круг Лемуана.. Иными словами, шестиугольник Лемуана, определенный выше, является вписанным в окружность Лемуана.
Впервые точку Лемуана (Lemoine Point) обнаружил (1809) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование (1847) Эрнста Вильгельма Гребе (Grebe), в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе (Grebe point). Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки (1873). Росс Хонсберегер (Ross Honsberger) назвал существование точки Лемуана «одним из драгоценных камней в короне современной геометрии».
Читайте также
ЕМ ДИЕТА: Программы питания для снижения веса с доставкой на дом
В современном мире забота о здоровье и внешности становится все
Тоники и лосьоны для лица: секрет здоровья и красоты кожи
Тоники и лосьоны для лица являются важным звеном в уходе
Легкость и тепло: Из чего сделаны современные весенние куртки?
Ринопластика: ключевая роль профессионализма врача в достижении успешного результата
Перезагрузка красоты: Интимное омоложение лазером
Развитие технологий в сфере ухода за кожей: в поисках совершенства
Доставка цветов на Пасху: Символ веры и весеннего обновления
Отчет врача ультразвуковой диагностики: ключевые аспекты для пациентов
Ультразвуковая диагностика (ультразвук) — это неинвазивный метод обследования, позволяющий получить