Тензор кривизны

Риманов тензор кривизны представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением.

Назван в честь Бернхарда Римана.

Определение

Тензор кривизны R ( u , v ) {displaystyle R(u,;v)} определяется как линейное преобразование касательного пространства в каждой точке многообразия, которое характеризует изменение вектора, параллельно перенесённого по бесконечно малому замкнутому параллелограмму, натянутому на векторы u , v {displaystyle u,;v} .

Тензор кривизны выражается через связность Леви-Чивиты, или в общем случае аффинную связность ∇ {displaystyle
abla } (которая также называется ковариантной производной) следующим образом:

R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w − ∇ [ u , v ] w , {displaystyle R(u,;v)w=
abla _{u}
abla _{v}w-
abla _{v}
abla _{u}w-
abla _{[u,;v]}w,}

где [ u , v ] {displaystyle [u,;v]} — скобка Ли.

Если векторные поля задаются дифференцированием по координатам, u = ∂ / ∂ x i {displaystyle u=partial /partial x_{i}} и v = ∂ / ∂ x j {displaystyle v=partial /partial x_{j}} , и поэтому коммутируют ( [ u , v ] = 0 {displaystyle [u,;v]=0} ), формула принимает упрощённый вид:

R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w , {displaystyle R(u,;v)w=
abla _{u}
abla _{v}w-
abla _{v}
abla _{u}w,}

таким образом, тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантных производных.

Примечание. Некоторые авторы определяют тензор кривизны с противоположным знаком

Связанные определения

• Линейное преобразование w ↦ R ( u , v ) w {displaystyle wmapsto R(u,;v)w} называется преобразованием кривизны.
• Если u {displaystyle u} и v {displaystyle v} — два перпендикулярных единичных вектора в точке p {displaystyle p} , то выражение ⟨ R ( u , v ) v , u ⟩ {displaystyle langle R(u,;v)v,;u
  angle } зависит только от плоскости σ {displaystyle sigma } в T p {displaystyle T_{p}} , которая натягивается на u {displaystyle u} и v {displaystyle v} .
  • Плоскость σ {displaystyle sigma } называется секционным направлением.
  • Величина ⟨ R ( u , v ) v , u ⟩ {displaystyle langle R(u,;v)v,;u
    angle } называется секционной кривизной в направлении σ {displaystyle sigma } , и обычно обозначается K σ {displaystyle K_{sigma }} .

Компоненты тензора кривизны

В системе координат x μ {displaystyle x^{mu }} компоненты тензора кривизны определяются так:

R ρ σ μ ν = d x ρ ( R ( ∂ μ , ∂ ν ) ∂ σ ) , {displaystyle {R^{
ho }}_{sigma mu
u }=dx^{
ho }(R(partial _{mu },;partial _{
u })partial _{sigma }),}

где ∂ μ = ∂ / ∂ x μ {displaystyle partial _{mu }=partial /partial x^{mu }} — векторное поле, в каждой точке касательное к координатной линии x μ {displaystyle x^{mu }} . В терминах символов Кристоффеля:

R ρ σ μ ν = ∂ μ Γ ν σ ρ − ∂ ν Γ μ σ ρ + Γ μ λ ρ Γ ν σ λ − Γ ν λ ρ Γ μ σ λ . {displaystyle {R^{
ho }}_{sigma mu
u }=partial _{mu }Gamma _{
u sigma }^{
ho }-partial _{
u }Gamma _{mu sigma }^{
ho }+Gamma _{mu lambda }^{
ho }Gamma _{
u sigma }^{lambda }-Gamma _{
u lambda }^{
ho }Gamma _{mu sigma }^{lambda }.}

В двумерном пространстве нетривиальной компонентой является только гауссова кривизна.

Симметрии

Тензор кривизны Римана обладает следующими свойствами симметрии:

R ( u , v ) = − R ( v , u ) ; {displaystyle R(u,;v)=-R(v,;u);} ⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = − ⟨ R ( u , v ) z , w ⟩ ; {displaystyle langle R(u,;v)w,;z
angle =-langle R(u,;v)z,;w
angle ;} R ( u , v ) w + R ( v , w ) u + R ( w , u ) v = 0. {displaystyle R(u,;v)w+R(v,;w)u+R(w,;u)v=0.}

Последнее тождество было открыто Риччи, хотя называется первым тождеством Бьянки или алгебраическим тождеством Бьянки.

Эти три тождества задают полный набор симметрий тензора кривизны, то есть для всякого тензора, удовлетворяющего этим соотношениям, можно найти риманово многообразие, кривизна которого описывается этим тензором. Простой комбинаторный подсчёт показывает, что тензор кривизны должен иметь n 2 ( n 2 − 1 ) / 12 {displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12} независимых компонент.

Еще одно полезное соотношение следует из этих трех тождеств:

⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ R ( w , z ) u , v ⟩ . {displaystyle langle R(u,;v)w,;z
angle =langle R(w,;z)u,;v
angle .}

Тождество Бьянки (ещё называется вторым тождеством Бьянки или дифференциальным тождеством Бьянки) привлекает ковариантные производные:

∇ u R ( v , w ) + ∇ v R ( w , u ) + ∇ w R ( u , v ) = 0. {displaystyle
abla _{u}R(v,;w)+
abla _{v}R(w,;u)+
abla _{w}R(u,;v)=0.}

В заданной системе координат в окрестности некоторой точки многообразия приведённые выше тождества в компонентах тензора кривизны могут быть записаны следующим образом. Круглые скобки обозначают симметризацию; индексы после точки-запятой означают ковариантную производную.

R a b c d = − R b a c d = − R a b d c ; {displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc};} R a b c d = R c d a b ; {displaystyle R_{abcd}=R_{cdab};} R a ( b c d ) = R a b c d + R a c d b + R a d b c = 0 {displaystyle R_{a(bcd)}=R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0} (первое тождество Бьянки); R a b ( c d ; e ) = R a b c d ; e + R a b d e ; c + R a b e c ; d = 0 {displaystyle R_{ab(cd;e)}=R_{abcd;e}+R_{abde;c}+R_{abec;d}=0} (второе тождество Бьянки).