Апрель 16, 2021 / Комментарии 0 |
Риманов тензор кривизны представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением.
Назван в честь Бернхарда Римана.
Тензор кривизны R ( u , v ) {displaystyle R(u,;v)} определяется как линейное преобразование касательного пространства в каждой точке многообразия, которое характеризует изменение вектора, параллельно перенесённого по бесконечно малому замкнутому параллелограмму, натянутому на векторы u , v {displaystyle u,;v} .
Тензор кривизны выражается через связность Леви-Чивиты, или в общем случае аффинную связность ∇ {displaystyle
abla } (которая также называется ковариантной производной) следующим образом:
R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w − ∇ [ u , v ] w , {displaystyle R(u,;v)w=
abla _{u}
abla _{v}w-
abla _{v}
abla _{u}w-
abla _{[u,;v]}w,}
где [ u , v ] {displaystyle [u,;v]} — скобка Ли.
Если векторные поля задаются дифференцированием по координатам, u = ∂ / ∂ x i {displaystyle u=partial /partial x_{i}} и v = ∂ / ∂ x j {displaystyle v=partial /partial x_{j}} , и поэтому коммутируют ( [ u , v ] = 0 {displaystyle [u,;v]=0} ), формула принимает упрощённый вид:
R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w , {displaystyle R(u,;v)w=
abla _{u}
abla _{v}w-
abla _{v}
abla _{u}w,}
таким образом, тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантных производных.
Примечание. Некоторые авторы определяют тензор кривизны с противоположным знаком
В системе координат x μ {displaystyle x^{mu }} компоненты тензора кривизны определяются так:
R ρ σ μ ν = d x ρ ( R ( ∂ μ , ∂ ν ) ∂ σ ) , {displaystyle {R^{
ho }}_{sigma mu
u }=dx^{
ho }(R(partial _{mu },;partial _{
u })partial _{sigma }),}
где ∂ μ = ∂ / ∂ x μ {displaystyle partial _{mu }=partial /partial x^{mu }} — векторное поле, в каждой точке касательное к координатной линии x μ {displaystyle x^{mu }} . В терминах символов Кристоффеля:
R ρ σ μ ν = ∂ μ Γ ν σ ρ − ∂ ν Γ μ σ ρ + Γ μ λ ρ Γ ν σ λ − Γ ν λ ρ Γ μ σ λ . {displaystyle {R^{
ho }}_{sigma mu
u }=partial _{mu }Gamma _{
u sigma }^{
ho }-partial _{
u }Gamma _{mu sigma }^{
ho }+Gamma _{mu lambda }^{
ho }Gamma _{
u sigma }^{lambda }-Gamma _{
u lambda }^{
ho }Gamma _{mu sigma }^{lambda }.}
В двумерном пространстве нетривиальной компонентой является только гауссова кривизна.
Тензор кривизны Римана обладает следующими свойствами симметрии:
R ( u , v ) = − R ( v , u ) ; {displaystyle R(u,;v)=-R(v,;u);} ⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = − ⟨ R ( u , v ) z , w ⟩ ; {displaystyle langle R(u,;v)w,;z
angle =-langle R(u,;v)z,;w
angle ;} R ( u , v ) w + R ( v , w ) u + R ( w , u ) v = 0. {displaystyle R(u,;v)w+R(v,;w)u+R(w,;u)v=0.}
Последнее тождество было открыто Риччи, хотя называется первым тождеством Бьянки или алгебраическим тождеством Бьянки.
Эти три тождества задают полный набор симметрий тензора кривизны, то есть для всякого тензора, удовлетворяющего этим соотношениям, можно найти риманово многообразие, кривизна которого описывается этим тензором. Простой комбинаторный подсчёт показывает, что тензор кривизны должен иметь n 2 ( n 2 − 1 ) / 12 {displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12} независимых компонент.
Еще одно полезное соотношение следует из этих трех тождеств:
⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ R ( w , z ) u , v ⟩ . {displaystyle langle R(u,;v)w,;z
angle =langle R(w,;z)u,;v
angle .}
Тождество Бьянки (ещё называется вторым тождеством Бьянки или дифференциальным тождеством Бьянки) привлекает ковариантные производные:
∇ u R ( v , w ) + ∇ v R ( w , u ) + ∇ w R ( u , v ) = 0. {displaystyle
abla _{u}R(v,;w)+
abla _{v}R(w,;u)+
abla _{w}R(u,;v)=0.}
В заданной системе координат в окрестности некоторой точки многообразия приведённые выше тождества в компонентах тензора кривизны могут быть записаны следующим образом. Круглые скобки обозначают симметризацию; индексы после точки-запятой означают ковариантную производную.
R a b c d = − R b a c d = − R a b d c ; {displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc};} R a b c d = R c d a b ; {displaystyle R_{abcd}=R_{cdab};} R a ( b c d ) = R a b c d + R a c d b + R a d b c = 0 {displaystyle R_{a(bcd)}=R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0} (первое тождество Бьянки); R a b ( c d ; e ) = R a b c d ; e + R a b d e ; c + R a b e c ; d = 0 {displaystyle R_{ab(cd;e)}=R_{abcd;e}+R_{abde;c}+R_{abec;d}=0} (второе тождество Бьянки).
Читайте также
Как выбрать торговый стеллаж в магазин?
Секционные ворота АЛЮТЕХ — конструкция, нюансы развития
Выбор секционных ворот означает не только рассмотрение характеристик. Репутация компании
Организация свадьбы: когда важна каждая мелочь
Трудозатратным процессом является организация свадебного торжества и его проведение. Всем
Мебель для дачи: отдыхать нужно с комфортом
Ассортимент садовой мебели настолько велик, что выбор сделать сложно. Особенно
В чем отличия мелирования от колорирования: особенности двух процедур
Металлические лестницы: прочность и изысканность в одном флаконе
Многие современные, и не очень, жилые и офисные здания имеют
Насколько удобно стало заказывать все для кулинарии в интернет-магазине
Работу кондитера можно сравнить с работой художника. Десерты, изготовленные умелыми
Афганский казан для плиты Rashko Baba – детальный обзор товара на Wildberries
Национальные блюда со своими особенностями и спецификой приготовления получаются самыми
Центр Натальи Зеневич – эффективная помощь в лечении псориаза
С такой проблемой, как псориаз, сталкиваются многие граждане нашей страны,
Как ухаживать за детской одеждой
Когда рождается долгожданный малыш, перед родителями появляется множество задач. Беззащитный
Букеты роз с доставкой: время удивлять любимых
Желанным подарком цветы являются для практически всех представительниц прекрасного пола.
Как проходит лечение кисты зуба
Киста зуба представляет собой мешочек, состоящий из клеток и наполненный
Как проходит лазерное лечение акне?
Акне – это заболевание кожи, характеризующееся появлением прыщей и угрей
Какие брекеты лучше – керамические или сапфировые?
Долгое время неэстетичность брекет-систем считалась их главным недостатком. Сегодня он