Сходимость по мере

Сходимость по мере (по вероятности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).

Определение

Пусть ( X , F , μ ) {displaystyle (X,{mathcal {F}},mu )} — пространство с мерой. Пусть f n , f : X → R m , n = 1 , 2 , … {displaystyle f_{n},f:X o mathbb {R} ^{m},;n=1,2,ldots } — измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций { f n } n = 1 ∞ {displaystyle {f_{n}}_{n=1}^{infty }} сходится по мере к функции f {displaystyle f} , если

∀ ε > 0 , lim n → ∞ μ ( { x ∈ X ∣ ‖ f n ( x ) − f ( x ) ‖ > ε } ) = 0 {displaystyle forall varepsilon >0,;lim limits _{n o infty }mu ({xin Xmid |f_{n}(x)-f(x)|>varepsilon })=0} .

Обозначение: f n ⟶ μ f {displaystyle f_{n}{stackrel {mu }{longrightarrow }}f} .

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство ( Ω , F , P ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} )} с определёнными на нём случайными величинами X n , X , n = 1 , 2 , … {displaystyle X_{n},X,;n=1,2,ldots } , то говорят, что { X n } n = 1 ∞ {displaystyle {X_{n}}_{n=1}^{infty }} сходится по вероятности к X {displaystyle X} , если

∀ ε > 0 , lim n → ∞ P ( | X n − X | > ε ) = 0 {displaystyle forall varepsilon >0,;lim limits _{n o infty }mathbb {P} (|X_{n}-X|>varepsilon )=0} .

Обозначение: X n ⟶ P X {displaystyle X_{n}{stackrel {mathbb {P} }{longrightarrow }}X} .

Замечание

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

Свойства сходимости по мере

• Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций f n {displaystyle f_{n}} сходится по мере к f {displaystyle f} , то у неё существует подпоследовательность f n k {displaystyle f_{n_{k}}} , сходящаяся к f {displaystyle f} μ {displaystyle mu } -почти всюду.

• Теорема (критерий сходимости по мере): Если мера конечна, то последовательность функций f n {displaystyle f_{n}} сходится по мере к f {displaystyle f} тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности f n {displaystyle f_{n}} существует подпоследовательность, которая сходится к f {displaystyle f} почти всюду.

• Если последовательность функций f n {displaystyle f_{n}} сходится по мере к f {displaystyle f} , и ∀ n ∈ N , | f n | ⩽ g {displaystyle forall nin mathbb {N} ,;|f_{n}|leqslant g} , где g ∈ L p , p ⩾ 1 {displaystyle gin L^{p},;pgeqslant 1} , то f n , f ∈ L p {displaystyle f_{n},fin L^{p}} , и f n {displaystyle f_{n}} сходится к f {displaystyle f} в L p {displaystyle L^{p}} .

• Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций f n {displaystyle f_{n}} сходится μ {displaystyle mu } -почти всюду к f {displaystyle f} , то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность функций f n {displaystyle f_{n}} сходится в L p {displaystyle L^{p}} к f {displaystyle f} , то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность случайных величин X n {displaystyle X_{n}} сходится по вероятности к X {displaystyle X} , то она сходится к X {displaystyle X} и по распределению.
• Если последовательность случайных величин X n {displaystyle X_{n}} сходится по вероятности к X {displaystyle X} , то для любой непрерывной функции f ( x ) {displaystyle f(x)} верно что f ( X n ) → f ( X ) , n → ∞ {displaystyle f(X_{n}) o f(X),n o infty } . Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности X n + Y n → X + Y , n → ∞ {displaystyle X_{n}+Y_{n} o X+Y,n o infty }