Сглаживающий сплайн (англ. smoothing spline) это метод сглаживания (аппроксимации кривой набора зашумлённых исходных данных) с использованием сплайн-функций.
Пусть ( x i , Y i ) ; x 1 < x 2 < ⋯ < x n , i ∈ Z {displaystyle (x_{i},Y_{i});x_{1}<x_{2}<dots <x_{n},iin mathbb {Z} } последовательность наблюдений, порождённых выражением Y i = μ ( x i ) {displaystyle Y_{i}=mu (x_{i})} . Приближение сглаживающими сплайнами μ ^ {displaystyle {hat {mu }}} функции μ {displaystyle mu } определяется как функция (в классе дважды дифференцируемых функций), минимизирующая
∑ i = 1 n ( Y i − μ ^ ( x i ) ) 2 + λ ∫ x 1 x n μ ^ ″ ( x ) 2 d x . {displaystyle sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{hat {mu }}(x_{i}))^{2}+lambda int _{x_{1}}^{x_{n}}{hat {mu }}'(x)^{2},dx.}
Замечания:
Для удобства разделим нахождение выражений, описывающих сглаживающий сплайн, на два этапа
Начнём со второго шага.
Дан вектор m ^ = ( μ ^ ( x 1 ) , … , μ ^ ( x n ) ) T {displaystyle {hat {m}}=({hat {mu }}(x_{1}),ldots ,{hat {mu }}(x_{n}))^{T}} «подогнанных» значений, сумма квадратов в критерии сплайна — константа. Требуется только минимизировать ∫ μ ^ ″ ( x ) 2 d x {displaystyle int {hat {mu }}'(x)^{2},dx} , и минимизация — натуральный кубический сплайн, интерполирующий точки ( x i , μ ^ ( x i ) ) {displaystyle (x_{i},{hat {mu }}(x_{i}))} . Данный интерполяционный сплайн это линейный оператор, и он может быть представлен в форме:
μ ^ ( x ) = ∑ i = 1 n μ ^ ( x i ) f i ( x ) {displaystyle {hat {mu }}(x)=sum _{i=1}^{n}{hat {mu }}(x_{i})f_{i}(x)}
где f i ( x ) {displaystyle f_{i}(x)} набор базисных сплайн-функций. В результате штраф за негладкость имеет форму
∫ μ ^ ″ ( x ) 2 d x = m ^ T A m ^ . {displaystyle int {hat {mu }}'(x)^{2}dx={hat {m}}^{T}A{hat {m}}.}
где элементы A — ∫ f i ″ ( x ) f j ″ ( x ) d x {displaystyle int f_{i}'(x)f_{j}'(x)dx} . Базисные функции и матрица A зависят от конфигурации независимых переменных x i {displaystyle x_{i}} , но не от Y i {displaystyle Y_{i}} или m ^ {displaystyle {hat {m}}} .
Теперь, возвращаясь к первому шагу, взвешенная сумма квадратов может быть записана как
‖ Y − m ^ ‖ 2 + λ m ^ T A m ^ , {displaystyle |Y-{hat {m}}|^{2}+lambda {hat {m}}^{T}A{hat {m}},}
где Y = ( Y 1 , … , Y n ) T {displaystyle Y=(Y_{1},ldots ,Y_{n})^{T}} . минимизация по m ^ {displaystyle {hat {m}}} даёт
m ^ = ( I + λ A ) − 1 Y . {displaystyle {hat {m}}=(I+lambda A)^{-1}Y.}
Из приведённого ограничения на формулу из определения x 1 < x 2 < ⋯ < x n {displaystyle x_{1}<x_{2}<dots <x_{n}} мы можем заключить, что алгоритм не работает для произвольного набора данных. Если планируется использование алгоритма для произвольного набора точек в многомерном пространстве необходим алгоритм, в котором нет таких ограничений. Возможное решение заключается во введении параметра таким образом, что входные данные могут быть представлены как одномерные функции, зависящие от данного параметра; затем можно применить сглаживание для каждой функции. В двумерном пространстве решение состоит в параметризации x {displaystyle x} и y {displaystyle y} как x ( t ) {displaystyle x(t)} and y ( t ) {displaystyle y(t)} где t 1 < t 2 < ⋯ < t n {displaystyle t_{1}<t_{2}<dots <t_{n}} . Подходящее решение для t {displaystyle t} это накопленное расстояние t i + 1 = t i + ( x i + 1 − x i ) 2 + ( y i + 1 − y i ) 2 {displaystyle t_{i+1}=t_{i}+{sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}}} где t 1 = 0 {displaystyle t_{1}=0} .
Более детальный анализ параметризации выполнен E.T.Y Lee.
Сглаживающие сплайны имеют отношение, но отличаются от:
Исходный код для сглаживающих сплайнов может быть взят из примеров к книге Carl de Boor’s A Practical Guide to Splines. Примеры написаны на Фортране. Обновлённые исходные коды также доступны на официальном сайте Carl de Boor’s [1].
Читайте также
Трудовые споры: как добиться справедливости от недобросовестного работодателя
Трудовые отношения — это тонкая материя, полная нюансов и правовых
Как отличить брендовые очки от подделки
Брендовые солнцезащитные очки — это не только модный аксессуар, но
Дизайн встроенной кухни: как оптимизировать пространство
Несмотря на большое разнообразие готовой (типовой) мебели, мебель на заказ
Михаил Владимирович Мишустин: отличный управленец и экономист
Михаил Владимирович Мишустин — выдающийся российский государственный и политический деятель,
Самые популярные рецепты пиццы: идеальное сочетание ингредиентов для настоящего гурмана
Пицца – это одно из наиболее популярных блюд в мире,
Лето – это время, когда дети, закончив учебный год, уходят
Как получить гражданство Бельгии и что оно дает?
Бельгия, расположенная в сердце Европейского союза, по праву считается одним
Когда начинать готовиться к ЕГЭ и ОГЭ 2024: полезные рекомендации
Начало нового учебного года часто становится временем повышенной тревожности как
На чем можно долететь до Мальдив? Регулярный рейс или аренда частного самолета?
Путешествие на Мальдивы — это мечта многих туристов. Острова, утопающие
Зубной имплантат: преимущества выбора при протезировании
Зубной имплантат – это современная технология, предоставляющая возможность восстановить утраченный
Яйцо шоколадное Kinder сюрприз: волшебство, которое завоевало сердца детей и взрослых
Яйцо Kinder сюрприз, безусловно, является одним из наиболее популярных шоколадных
Суши и пицца: почему они так популярны в службе доставки
Службы доставки еды становятся всё популярнее среди людей, желающих насладиться
Пептидные препараты: сущность и области применения
Пептидные препараты стали одним из важнейших направлений в современной медицине