Пространство Харди

Пространство Харди — особый вид функциональных пространств в комплексном анализе, аналог L p {displaystyle L^{p}} -пространства из функционального анализа. Названо по имени английского математика Харди.

Определение

Пространство Харди H p {displaystyle H^{p}} при 0 < p < ∞ {displaystyle 0<p<infty } — это класс голоморфных функций на открытом единичном круге на комплексной плоскости, удовлетворяющих следующему условию

sup 0 < r < 1 ( 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | p d θ ) 1 p < ∞ . {displaystyle sup _{0<r<1}left({frac {1}{2pi }}int limits _{0}^{2pi }left|f(re^{i heta })
ight|^{p};d heta
ight)^{frac {1}{p}}<infty .}

Левая часть этого неравенства называется p {displaystyle p} -нормой в пространстве Харди или просто нормой Харди для f {displaystyle f} , и обозначается | f | H p {displaystyle |f|_{H^{p}}} . Как и в случае L p {displaystyle L^{p}} -пространств, данная норма обобщается на случай p = ∞ {displaystyle p=infty } как

| f | H ∞ = sup 0 < r < 1 sup z : | z | = r | f ( z ) | = sup z : | z | < 1 | f ( z ) | . {displaystyle |f|_{H^{infty }} = sup _{0<r<1}sup _{z: |z|=r}|f(z)| = sup _{z: |z|<1}|f(z)|.}

Для случая 0 < p < q ≤ ∞ {displaystyle 0<p<qleq infty } можно показать, что H q {displaystyle H^{q}} является подмножеством множества H p {displaystyle H^{p}} .

Применения

Подобные пространства применяются как в классическом математическом анализе, так и в других ветвях анализа и его приложениях, например, гармоническом анализе, теории управления (в частности, для синтеза робастных систем управления) и теории рассеивания.

Пространство Харди

Определение

| f | H ∞ = sup 0 < r < 1 sup z : | z | = r | f ( z ) | = sup z : | z | < 1 | f ( z ) | . {displaystyle |f|_{H^{infty }} = sup _{0<r<1}sup _{z: |z|=r}|f(z)| = sup _{z: |z|<1}|f(z)|.}