Производная Лагранжа

Производная Лагранжа, также известная как субстанциональная производная или материальная производная, — это производная, взятая в зависимости от системы координат, движущейся со скоростью u и часто используемая в гидроаэромеханике и классической механике. Она определена как от скалярной функции ϕ ( r → , t ) {displaystyle phi ({vec {r}},t)} координат и времени, так и от векторной v → ( r → , t ) {displaystyle {vec {v}}({vec {r}},t)} :

D ϕ D t = ∂ ϕ ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) ϕ {displaystyle {frac {Dphi }{Dt}}={frac {partial phi }{partial t}}+(mathbf {u} cdot
abla )phi } D v D t = ∂ v ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) v {displaystyle {frac {Dmathbf {v} }{Dt}}={frac {partial mathbf {v} }{partial t}}+(mathbf {u} cdot
abla )mathbf {v} }

где ∇ {displaystyle
abla } — это оператор набла, а ∂ ∂ t {displaystyle {frac {partial }{partial t}}} обозначает частную производную по t. Второе слагаемое есть конвективная производная данной функции.

Верно следующее тождество, когда берётся производная Лагранжа от интеграла:

D D t ∫ V ( t ) f ( x ) d V = ∫ V ( t ) ( ∂ f ∂ t + ∇ ⋅ ( f u ) ) d V = ∫ V ( t ) ( D f D t + f ( ∇ ⋅ u ) ) d V {displaystyle {frac {D}{Dt}}int limits _{V(t)}f(mathbf {x} ),dV=int limits _{V(t)}left({frac {partial f}{partial t}}+
abla cdot (fmathbf {u} )
ight),dV=int limits _{V(t)}left({frac {Df}{Dt}}+f(
abla cdot mathbf {u} )
ight),dV}

Доказательство

Доказательство через правило дифференцирования сложных функций для частных производных. В тензорной нотации (с соглашением суммирования Эйнштейна), можно записать:

[ d B d t ] j = d d t B j ^ ( t , x i ( t ) ) = ∂ B j ∂ t + ∂ B j ∂ x i ∂ x i ∂ t = ∂ B j ∂ t + ∂ x i ∂ t ∂ ∂ x i B j = ∂ B j ∂ t + [ ( u ⋅ ∇ ) B ] j {displaystyle left[{frac {dmathbf {B} }{dt}}
ight]_{j}={frac {d}{dt}}{hat {B_{j}}}(t,x_{i}(t))={frac {partial B_{j}}{partial t}}+{frac {partial B_{j}}{partial x_{i}}}{frac {partial x_{i}}{partial t}}={frac {partial B_{j}}{partial t}}+{frac {partial x_{i}}{partial t}}{frac {partial }{partial x_{i}}}B_{j}={frac {partial B_{j}}{partial t}}+left[(mathbf {u} cdot
abla )mathbf {B}
ight]_{j}}