Показатель Гёльдера

Показатель Гёльдера α {displaystyle alpha } (известен также как показатель Липшица) — характеристика гладкости функции. Локальный (точечный) показатель Гёльдера характеризует локальную гладкость (локальную нерегулярность) функции в точке. В общем случае показатель Гёльдера является вещественным.

Определение

Функция f {displaystyle f} имеет локальный (или точечный) показатель Гёльдера α ⩾ 0 {displaystyle alpha geqslant 0} в точке v {displaystyle v} тогда, когда существует константа K ⩾ 0 {displaystyle Kgeqslant 0} и полином p v {displaystyle p_{v}} порядка m = α {displaystyle m=alpha } такой, что ∀ t ∈ R {displaystyle forall tin mathbb {R} }

| f ( t ) − p v ( t ) | ⩽ K | t − v | α . {displaystyle |f(t)-p_{v}(t)|leqslant K|t-v|^{alpha }.}

Если функция f {displaystyle f} регулярна по Гёльдеру с показателем α {displaystyle alpha } (имеет однородный показатель Гёльдера α {displaystyle alpha } ) α > m {displaystyle alpha >m} в окрестности точки v {displaystyle v} , то это означает что функция обязательно m {displaystyle m} раз дифференцируема в этой окрестности.

Функция, которая терпит разрыв в точке v {displaystyle v} , имеет показатель Гёльдера α = 0 {displaystyle alpha =0} в этой точке.

Локальный (точечный) показатель Гёльдера может произвольно изменяться во времени. Это изменение может создаваться функцией с так называемыми неизолированными нерегулярностями, где функция имеет разную регулярность по Гёльдеру в каждой точке. В противоположность, постоянный (однородный) во времени показатель Гёльдера обеспечивает более глобальное измерение регулярности, которое относится ко всему интервалу.

Говоря неформальным языком, показатель Гёльдера определяет дробную дифференцируемость функции (в точке).

Свойства

Показатель Гёльдера функции f {displaystyle f} на множестве R {displaystyle mathbb {R} } определяется предельным спадом его Фурье-преобразования. Сигнал ограничен и имеет однородный показатель Гёльдера α {displaystyle alpha } на множестве R {displaystyle mathbb {R} } , если ∫ − ∞ + ∞ | f ^ ( ω ) | ( 1 + | ω | α ) d ω < + ∞ {displaystyle int limits _{-infty }^{+infty }|{hat {f}}(omega )|(1+|omega |^{alpha }),domega <+infty } .

Локальный показатель Гёльдера может быть рассчитан исходя из спада коэффициентов вейвлет-преобразования функции, находящихся на линии локальных максимумов модуля вейвлет-преобразования.

Подпишитесь на свежую email рассылку сайта!

Читайте также