Обменная матрица

В математике, особенно в линейной алгебре, обменной матрицой называют квадратную n × n — матрицу J {displaystyle J} , если элементы её побочной диагонали равны 1, а остальные равны 0. Обменная матрица является матрицей перестановки: она переставляет все строки матрицы в обратном порядке, если умножается слева на эту матрицу, и переставляет в обратном порядке столбцы, если умножается справа.

J 2 = ( 0 1 1 0 ) ; J 3 = ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ; J n = ( 0 0 ⋯ 0 0 1 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 1 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 1 ⋯ 0 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 ) . {displaystyle J_{2}={egin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}};quad J_{3}={egin{pmatrix}0&0&1\0&1&0\1&0&0end{pmatrix}};quad J_{n}={egin{pmatrix}0&0&cdots &0&0&1\0&0&cdots &0&1&0\0&0&cdots &1&0&0\vdots &vdots &&vdots &vdots &vdots \0&1&cdots &0&0&0\1&0&cdots &0&0&0end{pmatrix}}.}

Определение

Квадратная n × n — матрица J {displaystyle J} с элементами J i , j {displaystyle J_{i,j}} называют обменной матрицей, если:

J i , j = { 1 , j = n − i + 1 0 , j ≠ n − i + 1 {displaystyle J_{i,j}={egin{cases}1,&j=n-i+1\0,&j
eq n-i+1\end{cases}}}

С помощью символа Кронекера можно записать определение обменной матрицы как:

Jij = δn + 1 − i, j.

Свойства

• JT = J.
• Jn = I для чётных n и Jn = J для нечётных n. Таким образом, J — инволютивная матрица, то есть J−1 = J.
• t r J = 1 {displaystyle mathop {
  m {tr}} ;J=1} для нечётных n и t r J = 0 {displaystyle mathop {
  m {tr}} ;J=0} для чётных n.
• ( J A ) i , j = A n + 1 − i , j {displaystyle (JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}} и ( A J ) i , j = A i , n + 1 − j {displaystyle (AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}} , для произвольной n × n — матрицы A.
• det J = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 {displaystyle det J=(-1)^{frac {n(n-1)}{2}}}

Связанные определения

Понятие обменной матрицы, в первую очередь, используется для определения матриц, обладающих определёнными симметриями:

• Квадратная матрица A называется центросимметричной, если AJ = JA.
• Квадратная матрица A называется персимметричной, если AJ = JAT.
• Квадратная матрица A называется бисимметричной, если одновременно A = AT и AJ = JA.