Нормальная матрица

В математике комплексная квадратная матрица A называется нормальной, если

A ∗ A = A A ∗ {displaystyle A^{*}A=AA^{*}}

где A∗ — это сопряженно-транспонированная матрица к A. Таким образом, матрица нормальна тогда и только тогда, когда она коммутирует со своей сопряженно-транспонированной.

Для вещественной матрицы A выполняется A∗ = AT, и поэтому она нормальна, если ATA = AAT.

Нормальность является удобным тестом для приводимости к диагональной форме — матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице, а потому любая матрица A, удовлетворяющая уравнению A∗A = AA∗, допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы A и B называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица S, для которой A = S-1BS.)

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах.

Специальные случаи

Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например,

A = ( 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ) {displaystyle A={egin{pmatrix}1&1&0\0&1&1\1&0&1end{pmatrix}}}

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку

A A ∗ = ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ) = A ∗ A . {displaystyle AA^{*}={egin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2end{pmatrix}}=A^{*}A.}

Следствия

Предложение. Нормальная треугольная матрица диагональна.

Пусть A — нормальная верхне-треугольная матрица. Поскольку (A∗A)ii = (AA∗)ii, первая строка должна иметь ту же норму, что и первый столбец:

‖ A e 1 ‖ 2 = ‖ A ∗ e 1 ‖ 2 . {displaystyle left|Ae_{1}
ight|^{2}=left|A^{*}e_{1}
ight|^{2}.}

Первые элементы первой строки и первого столбца совпадают, а остаток первого столбца состоит из нулей. Из этого следует, что и в строке все элементы от 2 до n должны быть нулевыми. Продолжая эти рассуждения для пар строка/столбец с номерами от 2 до n, получим, что A диагональна.

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это в точности те, которых касается спектральная теорема:

Предложение. Матрица A нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица Λ и унитарная матрица U, такие что A = UΛU ∗.

Диагональные элементы матрицы Λ являются собственными числами, а столбцы U — собственными векторами матрицы A. (собственные значения в Λ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в U).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства Cn. Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с Cn и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в Cn.

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура, которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть A — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, B. Если A нормальна, то и B нормальна тоже. Но тогда B должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

Предложение. Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости. Предложение. Нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в R.

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей. Однако выполняется следующее:

Предложение. Если A и B нормальны и выполняется AB = BA, то и AB, и A + B также нормальны. Более того, существует унитарная матрица U, такая, что UAU ∗ и UBU ∗ диагональны. Другими словами, A и B совместно приводимы к диагональной форме.

В этом частном случае столбцы матрицы U ∗ являются собственными векторами, как A, так и B, и образуют ортонормальный базис в Cn. Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Эквивалентные определения

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A — n × n комплексная матрица. Следующие высказывания эквивалентны:

sup ‖ x ‖ = 1 ‖ A x ‖ = sup ‖ x ‖ = 1 | ⟨ A x , x ⟩ | = max { | λ | : λ ∈ σ ( A ) } {displaystyle sup _{|x|=1}|Ax|=sup _{|x|=1}|langle Ax,x
angle |=max{|lambda |:lambda in sigma (A)}}

Некоторые, но не все перечисленные выше определения можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), является лишь квазинормальным.

Аналогии

Иногда полезно (а иногда и вводит в заблуждение) рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналогию различных видов комплексных чисел:

• Обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел
• Сопряжено-транспонированная матрица является аналогом сопряжённого числа
• Унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной 1
• Эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел
• Эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел
• Косоэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел

Можно комплексные числа вложить в нормальные 2 × 2 вещественные матрицы путём отображения

a + b i ↦ ( a b − b a ) , {displaystyle a+bimapsto {egin{pmatrix}a&b\-b&aend{pmatrix}},}

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение. Легко проверить, что при этом сохранятся все вышеперечисленные аналогии.