Метод Крылова — Боголюбова

Метод Крылова-Боголюбова — метод получения приближённых аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений c малой нелинейностью.

Описание

Рассмотрим динамическую систему с малой нелинейностью:

x ˙ = G x + μ F ( x , μ , t ) {displaystyle {dot {x}}=Gx+mu F(x,mu ,t)} (1)

Здесь x {displaystyle x} — вектор состояния системы с 2 n {displaystyle 2n} компонентами, G {displaystyle G} — постоянная квадратная матрица, μ {displaystyle mu } — малый параметр, F {displaystyle F} — нелинейная вектор-функция от вектора состояния x {displaystyle x} , малого параметра μ {displaystyle mu } и времени t {displaystyle t} .

При μ = 0 {displaystyle mu =0} система превращается в линейную. Одно из её периодических решений можно записать в виде:

x 0 = A V e i ( ω t + θ ) {displaystyle x_{0}=AVe^{i(omega t+ heta )}} (2)

Здесь A {displaystyle A} — произвольная постоянная, V {displaystyle V} — собственный вектор матрицы G {displaystyle G} , ω {displaystyle omega } — одна из некратных собственных частот системы, θ {displaystyle heta } — произвольная постоянная.

Решение системы (1) при μ ≠ 0 {displaystyle mu
eq 0} ищем в виде ряда по степеням малого параметра μ {displaystyle mu } :

x = x 0 + ∑ k = 1 ∞ μ k u k ( A , ψ , μ t ) {displaystyle x=x_{0}+sum _{k=1}^{infty }mu ^{k}u_{k}(A,psi ,mu t)} (3)

Здесь ψ = ω t + θ , u 1 , u 2 , . . . {displaystyle psi =omega t+ heta ,u1,u2,…} — неизвестные вектор-функции A , ψ {displaystyle A,psi } и μ t {displaystyle mu t} . A {displaystyle A} и θ {displaystyle heta } — медленно меняющаяся амплитуда и фаза, удовлетворяющие уравнениям:

d A d t = μ f 1 ( A , θ , μ t ) + μ 2 f 2 ( A , θ , μ t ) + . . . {displaystyle {frac {dA}{dt}}=mu f_{1}(A, heta ,mu t)+mu ^{2}f_{2}(A, heta ,mu t)+…} (4) d θ d t = μ h 1 ( A , θ , μ t ) + μ 2 h 2 ( A , θ , μ t ) + . . . {displaystyle {frac {d heta }{dt}}=mu h_{1}(A, heta ,mu t)+mu ^{2}h_{2}(A, heta ,mu t)+…} (5)

Вычислим производную x ˙ {displaystyle {dot {x}}} в виде ряда от μ {displaystyle mu } , исходя из выражений (3, 4, 5):

x ˙ = i ω A V e i ψ + μ [ f 1 V e i ψ + i A h 1 V e i ψ + ω ∂ u 1 ∂ ψ ] + μ 2 [ f 2 V e i ψ + i A h 2 V e i ψ + ∂ u 1 ∂ ( μ t ) + f 1 ∂ u 1 ∂ A + h 1 ∂ u 1 ∂ ψ + ω ∂ u 2 ∂ ψ ] + . . . {displaystyle {dot {x}}=iomega AVe^{ipsi }+mu left[f_{1}Ve^{ipsi }+iAh_{1}Ve^{ipsi }+omega {frac {partial u_{1}}{partial psi }}
ight]+mu ^{2}left[f_{2}Ve^{ipsi }+iAh_{2}Ve^{ipsi }+{frac {partial u_{1}}{partial (mu t)}}+f_{1}{frac {partial u_{1}}{partial A}}+h_{1}{frac {partial u_{1}}{partial psi }}+omega {frac {partial u_{2}}{partial psi }}
ight]+…} (6)

Нелинейную часть уравнения (1) также представим в виде ряда по малому параметру:

μ F ( x , μ , t ) = μ F 1 + μ 2 F 2 + . . . {displaystyle mu F(x,mu ,t)=mu F_{1}+mu ^{2}F_{2}+…} (7)

где F 1 = F ( x 0 , 0 , t ) , F 2 = ∂ F ( x 0 , 0 , t ) ∂ x u 1 + ∂ F ( x 0 , 0 , t ) ∂ μ , . . . {displaystyle F_{1}=F(x_{0},0,t),F_{2}={frac {partial F(x_{0},0,t)}{partial x}}u_{1}+{frac {partial F(x_{0},0,t)}{partial mu }},…}

Приравнивая в левой и правой частях уравнения (1) члены с одинаковыми степенями малого параметра μ {displaystyle mu } , получаем систему уравнений для определения неизвестных функций u j {displaystyle u_{j}} из уравнения (3):

ω ∂ u 1 ∂ ψ + G u 1 = − f 1 V e i ψ − i A h 1 V e i ψ + F 1 {displaystyle omega {frac {partial u_{1}}{partial psi }}+Gu_{1}=-f_{1}Ve^{ipsi }-iAh_{1}Ve^{ipsi }+F_{1}} (8) ω ∂ u 2 ∂ ψ + G u 2 = − f 2 V e i ψ − i A h 2 V e i ψ − ∂ u 1 ∂ ( μ t ) − f 1 ∂ u 1 ∂ A − h 1 ∂ u 1 ∂ ψ + F 2 {displaystyle omega {frac {partial u_{2}}{partial psi }}+Gu_{2}=-f_{2}Ve^{ipsi }-iAh_{2}Ve^{ipsi }-{frac {partial u_{1}}{partial (mu t)}}-f_{1}{frac {partial u_{1}}{partial A}}-h_{1}{frac {partial u_{1}}{partial psi }}+F_{2}} (9) . . . {displaystyle …}

Разложим вектор-функции u j , F j {displaystyle u_{j},F_{j}} в ряды Фурье с медленно меняющимися коэффициентами:

u j ( A , ψ , μ t ) = ∑ m = − ∞ ∞ U j ( m ) ( A , θ , μ t ) e i m ψ {displaystyle u_{j}(A,psi ,mu t)=sum _{m=-infty }^{infty }U_{j}^{(m)}(A, heta ,mu t)e^{impsi }} (10) F j ( A , ψ , μ t ) = ∑ m = − ∞ ∞ F j ( m ) ( A , θ , μ t ) e i m ψ {displaystyle F_{j}(A,psi ,mu t)=sum _{m=-infty }^{infty }F_{j}^{(m)}(A, heta ,mu t)e^{impsi }} (11)

Далее подставим (10), (11) в (8), (9) и приравняв коэффициенты при каждой гармонике в обеих частях уравнения, получим систему неоднородных уравнений относительно U j ( m ) {displaystyle U_{j}^{(m)}} .

Для получения уравнений первого приближения из (8), (10), (11) составим уравнение для определения вектор-функции U 1 ( m ) {displaystyle U_{1}^{(m)}}

( G + i m ω E ) U 1 ( m ) = − ( f 1 + i A h 1 ) δ m 1 V + F 1 ( m ) {displaystyle (G+imomega E)U_{1}^{(m)}=-(f_{1}+iAh_{1})delta _{m1}V+F_{1}^{(m)}} (12)

Условие совместности системы (12) при m = 1 {displaystyle m=1} имеет вид:

: − f 1 C V − i A h 1 C V + C F 1 ( 1 ) = 0 {displaystyle -f_{1}CV-iAh_{1}CV+CF_{1}^{(1)}=0} (13)

Разделяя в (13) действительную и мнимую части, находим:

f 1 ( A , θ , μ t ) = R e [ 1 ∑ k = 1 2 n c k k ∑ k = 1 2 n c k k V k F 1 k ( 1 ) ( A , θ , μ t ) ] {displaystyle f_{1}(A, heta ,mu t)=Releft[{frac {1}{sum _{k=1}^{2n}c_{kk}}}sum _{k=1}^{2n}{frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A, heta ,mu t)
ight]} (14) h 1 ( A , θ , μ t ) = 1 A I m [ 1 ∑ k = 1 2 n c k k ∑ k = 1 2 n c k k V k F 1 k ( 1 ) ( A , θ , μ t ) ] {displaystyle h_{1}(A, heta ,mu t)={frac {1}{A}}Imleft[{frac {1}{sum _{k=1}^{2n}c_{kk}}}sum _{k=1}^{2n}{frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A, heta ,mu t)
ight]} (15)

Во втором приближении сначала найдем из системы уравнений (12) векторы U 1 ( m ) {displaystyle U_{1}^{(m)}} . Учитывая, что при m = 1 {displaystyle m=1} вектор U 1 ( 1 ) {displaystyle U_{1}^{(1)}} определяется с точностью до произвольной постоянной, его можно представить в виде:

U 1 ( 1 ) = A V ( 1 ) {displaystyle U_{1}^{(1)}=AV^{(1)}} (16)

Затем подставим в систему уравнений (9) ряды (10), (11). С учетом (16) получим:

( G + i m ω E ) U 2 ( m ) = − [ ( f 2 + i A h 2 ) V ( 1 ) + ( f 1 + i A h 1 ) V ( 1 ) + A ( ∂ V ( 1 ) ∂ ( μ t ) + f 1 ∂ V ( 1 ) ∂ A + h 1 ∂ V ( 1 ) ∂ θ ) ] δ m 1 − [ ∂ U 1 ( m ) ∂ ( μ t ) + f 1 ∂ U 1 ( m ) ∂ A + h 1 ∂ U 1 ( m ) ∂ θ + i m h 1 U 1 ( m ) ] ( 1 − δ m 1 ) + F {displaystyle (G+imomega E)U_{2}^{(m)}=-left[(f_{2}+iAh_{2})V^{(1)}+(f_{1}+iAh_{1})V^{(1)}+Aleft({frac {partial V^{(1)}}{partial (mu t)}}+f_{1}{frac {partial V^{(1)}}{partial A}}+h_{1}{frac {partial V^{(1)}}{partial heta }}
ight)
ight]delta _{m1}-left[{frac {partial U_{1}^{(m)}}{partial (mu t)}}+f_{1}{frac {partial U_{1}^{(m)}}{partial A}}+h_{1}{frac {partial U_{1}^{(m)}}{partial heta }}+imh_{1}U_{1}^{(m)}
ight](1-delta _{m1})+F_{}^{}} (17)

Из условия совместности системы уравнений (17) при m = 1 {displaystyle m=1} можно определить f 2 {displaystyle f_{2}} и h 2 {displaystyle h_{2}} . Аналогично находятся члены третьего и более высоких приближений. В итоге получаем выражение для вектора состояния системы x

x = A [ V + μ V ( 1 ) ( A , θ , μ t ) + μ 2 V ( 2 ) ( A , θ , μ t ) + . . . ] e i ψ + . . . {displaystyle x=Aleft[V+mu V^{(1)}(A, heta ,mu t)+mu ^{2}V^{(2)}(A, heta ,mu t)+…
ight]e^{ipsi }+…} (18)

Здесь амплитуда A {displaystyle A} и фаза θ {displaystyle heta } удовлетворяют уравнениям (4), (5).

Подпишитесь на свежую email рассылку сайта!

Читайте также