Метод фазовых функций

Метод фазовых функций — метод решения задач квантовой механики. Основан на понятии фазовой функции, имеющей ясный физический смысл. При рассмотрении движения элементарной частицы в потенциальном поле, если за начало системы отсчёта R = 0 {displaystyle R=0} принять центр рассеивающего потенциала, то фазовая функция в точке r {displaystyle r} равна фазе рассеяния на части потенциала, содержащейся в шаре радиуса r {displaystyle r} .

Фазовая и амплитудная функции

Рассмотрим рассеяние частицы без спина на сферически-симметричном потенциале V ( r ) {displaystyle V(r)} . Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции u l ( r ) {displaystyle u_{l}(r)} имеет вид:

d 2 d r 2 u l ( r ) + [ k 2 − l ( l + 1 ) r 2 − V ( r ) ] u l ( r ) = 0 {displaystyle {frac {d^{2}}{dr^{2}}}u_{l}(r)+{Bigl [}k^{2}-{frac {l(l+1)}{r^{2}}}-V(r){Bigr ]}u_{l}(r)=0} (1).

Здесь k 2 {displaystyle k^{2}} — значение энергии частицы, l {displaystyle l} — значение орбитального момента частицы.

Решение этого уравнения имеет вид:

u l ( r ) ≈ C [ j l ( k r ) − tan ⁡ δ l n l ( k r ) ] {displaystyle u_{l}(r)approx C[j_{l}(kr)- an delta _{l}n_{l}(kr)]}

или

u l ( r ) → C s i n ( k r − l π 2 + δ l ) , r → ∞ {displaystyle u_{l}(r)
ightarrow Csin(kr-{frac {lpi }{2}}+delta _{l}),r
ightarrow infty } .

Здесь j l ( k r ) {displaystyle j_{l}(kr)} и n l ( k r ) {displaystyle n_{l}(kr)} — функции Риккати-Бесселя.

Введём в рассмотрение фазовую функцию δ l ( r ) {displaystyle delta _{l}(r)} и амплитудную функцию A l ( r ) {displaystyle A_{l}(r)} , исходя из двух условий:

u l ( r ) = A l ( r ) [ cos ⁡ δ l ( r ) j l ( k r ) − sin ⁡ δ l ( r ) n l ( k r ) ] {displaystyle u_{l}(r)=A_{l}(r)[cos delta _{l}(r)j_{l}(kr)-sin delta _{l}(r)n_{l}(kr)]} (2)

и

d d r u l ( r ) = A l ( r ) [ cos ⁡ δ l ( r ) d d r j l ( k r ) − sin ⁡ δ l ( r ) d d r n l ( k r ) ] {displaystyle {frac {d}{dr}}u_{l}(r)=A_{l}(r)[cos delta _{l}(r){frac {d}{dr}}j_{l}(kr)-sin delta _{l}(r){frac {d}{dr}}n_{l}(kr)]} (3).

Второе условие равносильно

d A l d r [ cos ⁡ δ l j l − sin ⁡ δ l n l ] − d δ l d r A l [ sin ⁡ δ l j l + cos ⁡ δ l n l ] = 0 {displaystyle {frac {dA_{l}}{dr}}[cos delta _{l}j_{l}-sin delta _{l}n_{l}]-{frac {ddelta _{l}}{dr}}A_{l}[sin delta _{l}j_{l}+cos delta _{l}n_{l}]=0} .

Продифференцировав уравнение ( 3 ) {displaystyle (3)} , подставим выражение для второй производной u l {displaystyle u_{l}} вместе с уравнением ( 2 ) {displaystyle (2)} в уравнение Шредингера ( 1 ) {displaystyle (1)} . Получим уравнение для фазовой функции δ l ( r ) {displaystyle delta _{l}(r)} :

d d r δ l ( r ) = − 1 k V ( r ) [ cos ⁡ δ l ( r ) j l ( k r ) − sin ⁡ δ l ( r ) n l ( k r ) ] 2 {displaystyle {frac {d}{dr}}delta _{l}(r)=-{frac {1}{k}}V(r)[cos delta _{l}(r)j_{l}(kr)-sin delta _{l}(r)n_{l}(kr)]^{2}} (4)

и начальное условие:

δ l ( 0 ) = 0 {displaystyle delta _{l}(0)=0} (4).

Аналогичным образом можно получить уравнение для амплитудной функции:

d d r A l ( r ) = − 1 k A l ( r ) V ( r ) [ cos ⁡ δ l ( r ) j l ( k r ) − sin ⁡ δ l ( r ) n l ( k r ) ] [ sin ⁡ δ l ( r ) j l ( k r ) + cos ⁡ δ l ( r ) n l ( k r ) ] {displaystyle {frac {d}{dr}}A_{l}(r)=-{frac {1}{k}}A_{l}(r)V(r)[cos delta _{l}(r)j_{l}(kr)-sin delta _{l}(r)n_{l}(kr)][sin delta _{l}(r)j_{l}(kr)+cos delta _{l}(r)n_{l}(kr)]} (5).

Фазовое уравнение ( 4 ) {displaystyle (4)} отражает связь фазы рассеяния с потенциалом. Оно является уравнением Риккати первого порядка и удобно для применения численных методов вычислений. На основе метода фазовых функций также можно вычислять амплитуды рассеяния, элементы S-матрицы, параметры рассеяния, энергии связанных состояний, функции Грина, коэффициенты прохождения через потенциальный барьер.