Ноябрь 14, 2021 / Комментарии 0 |
В теории алгоритмов классом сложности BPP (от англ. bounded-error, probabilistic, polynomial) называется класс предикатов, быстро (за полиномиальное время) вычислимых и дающих ответ с высокой вероятностью (причём, жертвуя временем, можно добиться сколь угодно высокой точности ответа). Задачи, решаемые вероятностными методами и лежащие в BPP, возникают на практике очень часто.
Классом BPP называется класс предикатов P(x), вычислимых на вероятностных машинах Тьюринга (обычных машинах Тьюринга с лентой случайных чисел) за полиномиальное время с ошибкой не более ⅓. Это значит, что вычисляющая значение предиката вероятностная машина Тьюринга даст ответ за время, равное O(nk), где n — длина x, причём если правильный ответ 1, то машина выдаёт 1 с вероятностью как минимум ⅔, и наоборот. Множество слов, на которых P(x) возвращает 1, называется языком, распознаваемым предикатом P(x).
Число ⅓ в определении выбрано произвольно: если вместо него выбрать любое число p, строго меньшее ½, то получится тот же самый класс. Это верно, поскольку если есть машина Тьюринга, распознающая язык с вероятностью ошибки p за время O(nk), то точность можно сколь угодно хорошо улучшить за счёт относительно небольшого прироста времени. Если мы запустим машину n раз подряд, а в качестве результата возьмём результат большинства запусков, то вероятность ошибки упадёт до ( 2 p ( 1 − p ) ) n {displaystyle left(2{sqrt {p(1-p)}}
ight)^{n}} , а время станет равным O(nk+1). Здесь n запусков машины рассматриваются как схема Бернулли с n испытаниями и вероятностью успеха 1-p, а формула, выражающая ошибку, — вероятность неудачи не менее чем в половине случаев. Если теперь запустить машину n2 раз подряд, то время возрастёт до O(nk+2), а вероятность ошибки упадёт до ( 2 p ( 1 − p ) ) n 2 {displaystyle left(2{sqrt {p(1-p)}}
ight)^{n^{2}}} . Таким образом, с ростом показателя многочлена, оценивающего время, точность растёт экспоненциально, и можно достичь любого нужного значения.
Вероятностный алгоритм A {displaystyle {mathcal {A}}} принимает язык L {displaystyle L} по стандарту Монте-Карло, если вероятность ошибки алгоритма не превосходит 1 / 3 {displaystyle 1/3} . То есть, P ( A ( x ) = P ( x ) ) ≥ 2 / 3 {displaystyle mathbb {P} ({mathcal {A}}(x)=P(x))geq 2/3} , где P ( x ) {displaystyle P(x)} — предикат принадлежности слова x {displaystyle x} языку L {displaystyle L} . Таким образом, класс BPP образуют предикаты такие что для них существует полиномиальный вероятностный алгоритм, принимающий их язык по стандарту Монте-Карло. Такие алгоритмы также называют алгоритмами Монте-Карло.
Сам BPP замкнут относительно дополнения. Класс P включён в BPP, поскольку он даёт ответ за полиномиальное время с нулевой ошибкой. BPP включён в класс Σ 2 p ∩ Π 2 p {displaystyle Sigma _{2}^{p}cap Pi _{2}^{p}} полиномиальной иерархии и, как следствие, включён в PH и PSPACE. Кроме того, известно включение BPP в класс P/Poly.
Квантовым аналогом класса BPP (другими словами, расширением класса BPP на квантовые компьютеры) является класс BQP.
BPP ⊆ BQP {displaystyle {mbox{BPP}}subseteq {mbox{BQP}}}
До 2002 года одной из наиболее известных задач, лежащих в классе BPP, была задача распознавания простоты числа, для которой существовало несколько различных полиномиальных вероятностных алгоритмов, таких как тест Миллера-Рабина, но ни одного детерминированного. Однако, в 2002 году детерминированный полиномиальный алгоритм был найден индийскими математиками Agrawal, Kayan и Saxena, которые таким образом доказали, что задача распознавания простоты числа лежит в классе P. Предложенный ими алгоритм AKS (названный по первым буквам их фамилий) распознает простоту числа длины n за время O(n4).
Читайте также
Кухонные гарнитуры: когда нельзя ошибаться
Инвестиции в валюту — без права на ошибку
Почему болят мышцы после тренировки и что делать?
Физиология мышечной ткани такова, что в состоянии покоя она расходует
Wellios, стильная тема для портфолио – портфолио фотографа
Данная тема основана на гибком макете, таким образом Она может
Домашняя одежда должна быть стильной и уютной
Дом – это то место, где все хотят быть самим
Лейкоплакия шейки матки: причины, симптомы, лечение
Имплантация зубов: когда проводится и какие результаты гарантирует?
Потеря одного или нескольких зубов является не только эстетическим дефектом.
Как выбрать кухонную плиту, на что обратить внимание при выборе?
Современность диктует нам свои предложения при выборе новой кухонной плиты.
Adidas Yeezy Boost: всегда на стиле
Yeezy Boost – настоящая легенда в мире спортивной обуви. Лучшие
Эффектно и красиво в летний период стремятся выглядеть все женщины.
Красивая улыбка доступна всем: нейлоновые съемные протезы
Лазерная коррекция: подготовка, показания и противопоказания
Одним из наиболее эффективных способов восстановления зрения является лазерная коррекция.
Пленка для цветов помогает в создании красивых букетов
Не только цветы создают впечатление от флористической композиции. Финишное оформление
Мегаптека на страже вашего здоровья
Быт современного человека значительно облегчило распространение интернета. Не только услуги
Упражнения на растяжение позвоночника – залог ровной осанки
От пластичности и гибкости спины зависит осанка и общее самочувствие.