Хиральность (математика)

Хиральность — отсутствие зеркальной симметрии у фигуры; точнее говоря фигура не может быть совмещена со своей зеркальной копией. Хиральная фигура и её зеркальный образ называют энантиоморфами. Слово хиральность происходит от др.-греч. χειρ (хеир) — «рука». Это самый известный хиральный объект. Слово энантиоморф происходит от др.-греч. εναντιος (энантиос) — «противоположный», и μορφη (морфе) — «форма». Нехиральный объект называется ахиральным или амфихиральным.

Винтовая линия (а также витая пряжа, штопор, пропеллер и т. п.) и лента Мёбиуса — это трёхмерные хиральные объекты. Фигурки тетрамино в форме букв J, L, S и Z из популярной игры «Тетрис» также обладают хиральностью, но только в двумерном пространстве.

Некоторым хиральным объектам, таким как винт, можно приписать правую или левую ориентацию, в соответствии с правилом правой руки.

Хиральность и группы симметрии

Фигура ахиральна тогда и только тогда, когда её группа симметрий содержит хотя бы одну изометрию, меняющую ориентацию. В евклидовой геометрии любая изометрия имеет вид v ↦ A v + b {displaystyle vmapsto Av+b} , где A {displaystyle A} — ортогональная матрица, а b {displaystyle b} — вектор. Определитель матрицы A {displaystyle A} равен 1 или −1. Если он равен −1, то изометрия меняет ориентацию, в противном случае она сохраняет ориентацию.

Хиральность в трёхмерном пространстве

В трёхмерном пространстве любая фигура, обладающая плоскостью симметрии или центром симметрии ахиральна. Однако, существуют ахиральные фигуры, не обладающие ни центром, ни плоскостью симметрии, например:

F 0 = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( − 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , − 1 , 0 ) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( − 1 , 2 , − 1 ) , ( − 2 , − 1 , 1 ) , ( 1 , − 2 , − 1 ) } {displaystyle F_{0}=left{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)
ight}}

Эта фигура инвариантна относительно меняющего ориентацию преобразования ( x , y , z ) ↦ ( − y , x , − z ) {displaystyle (x,y,z)mapsto (-y,x,-z)} и поэтому ахиральна, но не обладает ни плоскостью, ни центром симметрии. Фигура

F 1 = { ( 1 , 0 , 0 ) , ( − 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , − 2 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) , ( − 1 , − 1 , − 1 ) } {displaystyle F_{1}=left{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)
ight}}

также ахиральна, так как начало координат является для неё центром симметрии, но у неё нет плоскости симметрии.

Хиральность в двух измерениях

В двумерном пространстве любая фигура, обладающая осью симметрии, является ахиральной. Можно показать, что любая ограниченная ахиральная фигура обладает осью симметрии. Для бесконечных фигур это не обязательно выполняется. Рассмотрим следующий (конечный) рисунок:

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

Это хиральная фигура, так как она не совпадает со своим зеркальным изображением:

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

Но если продолжить его вправо и влево до бесконечности, то получится неограниченная ахиральная фигура, не обладающая осью симметрии. Её группа симметрий — это группа бордюра, порождённая единственным скользящим отражением.

Теория узлов

Узел называется ахиральным, если его можно непрерывно деформировать в его зеркальный образ, в противном случае его называют хиральным. Например, незаузлённый узел и «восьмёрка» ахиральны, в то время как трилистный узел хирален.