Бидуга

Бидуга — гладкая плоская кривая, составленная из двух круговых дуг, меньших полной окружности. Одной из дуг может быть отрезок прямой. Бидуги были предложены для геометрического моделирования (построения, аппроксимации) кривых с заданными граничными точками и касательными в них. В классе бидуг эта задача имеет целое семейство решений, и требует дополнительных условий для нахождения конкретных кривых. Таковыми могут быть задание кривизны или поворота одной из дуг, фиксированная длина кривой, требование минимизации скачка кривизны в точке сопряжения, и т. п.

У бидуги зависимость k ( s ) {displaystyle k(s)} кривизны от длины дуги монотонна (так как состоит из двух постоянных участков), поэтому бидуга является простейшей спиралью.

Примеры бидуг

На рис. 1 показаны шесть бидуг A J B {displaystyle AJB} . Точки A {displaystyle A} и B {displaystyle B} — начальная и конечная точки кривой, J {displaystyle J} (join) — точка гладкого сопряжения двух дуг.

Примеры 1-4 иллюстрируют короткие бидуги: они не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой, хотя могут пересекать саму хорду (бидуга 1). Обычно именно такие кривые являются объектами аппроксимации.

Примеры 5 и 6 иллюстрируют длинные бидуги: они пересекают дополнение хорды, то есть закручиваются вокруг одной из концевых точек.

У кривых 1, 2 и 6 точка J {displaystyle J} является точкой перегиба: в ней кривизна меняет знак (- на + у кривых 1, 2 и + на — у кривой 6).

Кривые помещены в систему координат хорды A B → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} длины 2 c = | A B | {displaystyle ;2c=|AB|} , в которой координаты начальной и конечной точек равны A = ( − c , 0 ) , B = ( c , 0 ) {displaystyle A=(-c,0),;;B=(c,0)} .

Ориентированные углы наклонов касательных в точках A {displaystyle A} и B {displaystyle B} , измеренные относительно направления хорды A B → {displaystyle {overrightarrow {AB}}} , обозначены α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } . Так, у бидуги 1 на рис. 1 α > 0 , β > 0 {displaystyle ;alpha >0,;eta >0} , а у бидуг 2-6 — α > 0 , β < 0 {displaystyle ;alpha >0,;eta <0} .

Описание семейства бидуг

Граничные касательные векторы у кривых 2-6 на рис. 1 одинаковы: α = 100 ∘ , β = − 30 ∘ . {displaystyle alpha =100^{circ },quad eta =-30^{circ }.} Эти кривые являются членами однопараметрического семейства бидуг с общими касательными на концах. Всё семейство показано на нижнем фрагменте рисунка 2.

Далее основные свойства семейства бидуг с общими касательными на концах приведены по материалам статьи. Параметр семейства обозначен p {displaystyle p} . Обозначение бидуги в виде B ( p ) {displaystyle {mathcal {B}}(p)} подразумевает фиксацию констант, то есть B ( p ; α , β , c ) {displaystyle {mathcal {B}}(p;,alpha ,eta ,c)} .

Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар { α , β } . {displaystyle {alpha ,eta }.}

Соотношения для углов и кривизн

Углы α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } считаются определёнными в диапазоне [ − π ; π ] {displaystyle [-pi ;,pi ]} : − π ⩽ α ⩽ π {displaystyle -pi leqslant alpha leqslant pi } , − π ⩽ β ⩽ π {displaystyle -pi leqslant eta leqslant pi } . Построение бидуги возможно при

0 < | α + β | < 2 π . ( 1 ) {displaystyle qquad 0<|alpha +eta |<2pi .qquad (1)}

Введём обозначения

ω = α + β 2 , γ = α − β 2 {displaystyle omega ={frac {alpha +eta }{2}},quad gamma ={frac {alpha -eta }{2}}} .

Неравенства (1) означают, что sin ⁡ ω ≠ 0 {displaystyle ;sin omega
ot =0} .

Кривизна k 1 {displaystyle k_{1}} первой дуги ( A J ) {displaystyle (AJ)} и кривизна k 2 {displaystyle k_{2}} второй дуги ( J B ) {displaystyle (JB)} выражаются, как функции параметра семейства, следующими формулами:

k 1 ( p ) = 1 c ( − sin ⁡ α − sin ⁡ ω p ) , k 2 ( p ) = 1 c ( sin ⁡ β + p sin ⁡ ω ) . {displaystyle k_{1}(p)={frac {1}{c}}left(-sin alpha -{frac {sin omega }{p}}
ight),quad k_{2}(p)={frac {1}{c}}left(sin eta +psin omega
ight).}

Пусть

θ 1 {displaystyle heta _{1}} и L 1 {displaystyle L_{1}} — поворот и длина дуги A J {displaystyle AJ} : θ 1 = k 1 L 1 {displaystyle heta _{1}=k_{1}L_{1}} ;
θ 2 {displaystyle heta _{2}} и L 2 {displaystyle L_{2}} — поворот и длина дуги J B {displaystyle JB} : θ 2 = k 2 L 2 {displaystyle heta _{2}=k_{2}L_{2}} .

Справедливы равенства

θ 1 ( p ) = 2 arg ⁡ ( e − i α + p − 1 e − i ω ) , θ 2 ( p ) = 2 arg ⁡ ( e i β + p e i ω ) . {displaystyle heta _{1}(p)=2arg left(mathrm {e} ^{-mathrm {i} alpha }+p^{-1}{mathrm {e} ^{-mathrm {i} omega }}
ight),quad heta _{2}(p)=2arg left(mathrm {e} ^{mathrm {i} eta }+p,mathrm {e} ^{mathrm {i} omega }
ight).}

Геометрическое место точек сопряжения

Точки сопряжения J {displaystyle J} двух дуг расположены на окружности

X J ( p ) = c ( p 2 − 1 ) p 2 + 2 p cos ⁡ γ + 1 , Y J ( p ) = 2 c p sin ⁡ γ p 2 + 2 p cos ⁡ γ + 1 , − ∞ ⩽ p ⩽ ∞ . ( 2 ) {displaystyle X_{J}(p)={frac {c(p^{2}-1)}{p^{2}+2pcos gamma +1}},quad Y_{J}(p)={frac {2cpsin gamma }{p^{2}+2pcos gamma +1}},quad -infty leqslant pleqslant infty .qquad (2)}

Эта окружность выходит из точки A {displaystyle A} под углом γ {displaystyle gamma } и проходит через точку B . {displaystyle B.} При γ = 0 {displaystyle gamma =0} (то есть при α = β {displaystyle alpha =eta } ) это прямая A B {displaystyle AB} (рис. 3). Бидуги семейства пересекают эту окружность под постоянным углом − ω {displaystyle -omega } .

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть | | cos ⁡ τ J , sin ⁡ τ J | | {displaystyle ||cos au _{{}_{J}},,sin au _{{}_{J}}||} , где

τ J ( p ) = − 2 arctg ⁡ p sin ⁡ α 2 + sin ⁡ β 2 p cos ⁡ α 2 + cos ⁡ β 2 . {displaystyle au _{{}_{J}}(p)={-2}operatorname {arctg} {dfrac {psin {frac {alpha }{2}}+sin {frac {eta }{2}}}{pcos {frac {alpha }{2}}+cos {frac {eta }{2}}}}.}

Бидуга с минимальным скачком кривизны в точке сопряжения, min | k 2 ( p ) − k 1 ( p ) | , {displaystyle min left|k_{2}(p)-k_{1}(p)
ight|,} реализуется при p = ± 1 ; {displaystyle p=pm 1;} точка J {displaystyle J} при этом лежит на оси ординат ( X J = 0 ) . {displaystyle (X_{J}=0).}

Вырожденные бидуги

В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.

Бидуга B ( 0 ) {displaystyle {mathcal {B}}(0)} : при p → 0 {displaystyle p o 0} точка сопряжения J ( p ) {displaystyle J(p)} бидуги A J B {displaystyle AJB} стремится к точке A {displaystyle A} , часть A J {displaystyle AJ} исчезает, превращаясь в бесконечный импульс кривизны. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду A B {displaystyle AB} и имеющую с бидугами семейства общую касательную в конечной точке.

Бидуга B ( ∞ ) {displaystyle {mathcal {B}}(infty )} : стремление p → ∞ {displaystyle p o infty } влечёт J ( p ) → B {displaystyle J(p) o B} , часть J B {displaystyle JB} исчезает. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду A B {displaystyle AB} и имеющую с бидугами семейства общую касательную в начальной точке.

Бидуга B ( p ∗ ) {displaystyle {mathcal {B}}(p^{ast })} , где p ∗ = { − sin ⁡ ω sin ⁡ α , если | α | ⩾ | β | ( − ∞ , при | α | = π ) , − sin ⁡ β sin ⁡ ω , если | α | ⩽ | β | ( 0 , при | β | = π ) , {displaystyle qquad p^{ast }=left{{egin{array}{lll}-{dfrac {sin omega }{sin alpha }},quad &{ ext{если}};|alpha |geqslant |eta |quad (-infty ,;{ ext{при}};|alpha |=pi ),\-{dfrac {sin eta }{sin omega }},quad &{ ext{если}};|alpha |leqslant |eta |quad (;0,;;;{ ext{при}};|eta |=pi ),end{array}}
ight.} представляет собой разрывную бидугу, проходящую через бесконечно удалённую точку плоскости. Всегда p ∗ ⩽ 0 {displaystyle p^{ast }leqslant 0} , а неравенства (1) исключают одновременное равенство | α | = | β | = π {displaystyle |alpha |=|eta |=pi } . На рисунках 2, 3 разрывные бидуги показаны красной штрих-пунктирной линией.

С учётом этих трёх вырожденных бидуг через любую точку плоскости с выколотыми полюсами A {displaystyle A} и B {displaystyle B} проходит единственная бидуга B ( p ) {displaystyle {mathcal {B}}(p)} . Именно, через точку ( x , y ) {displaystyle (x,y)} проходит бидуга с параметром

p ( x , y ) = { − [ ( x + c ) 2 + y 2 ] sin ⁡ ω ( c 2 − x 2 − y 2 ) sin ⁡ α − 2 c y cos ⁡ α , если ω C ( x , y ) ⩽ 0 , − ( c 2 − x 2 − y 2 ) sin ⁡ β + 2 c y cos ⁡ β [ ( x − c ) 2 + y 2 ] sin ⁡ ω , если ω C ( x , y ) ⩾ 0 , {displaystyle qquad p(x,y)=left{{egin{array}{ll}-{dfrac {[(x+c)^{2}+y^{2}]sin omega }{(c^{2}-x^{2}-y^{2})sin alpha -2cycos alpha }},quad &{ ext{если}}quad omega ,C(x,y)leqslant 0,\-{dfrac {(c^{2}-x^{2}-y^{2})sin eta +2cycos eta }{[(x-c)^{2}+y^{2}]sin omega }},quad &{ ext{если}}quad omega ,C(x,y)geqslant 0,end{array}}
ight.}

где C ( x , y ) = ( c 2 − x 2 − y 2 ) sin ⁡ γ − 2 c y cos ⁡ γ {displaystyle ;C(x,y)=(c^{2}-x^{2}-y^{2})sin gamma -2cycos gamma } .

Структура семейства

В семействе бидуг B ( p ; α , β , c ) {displaystyle {mathcal {B}}(p;,alpha ,eta ,c)} выделим, в зависимости от значения параметра p , {displaystyle p,} следующие подсемейства невырожденных бидуг:

B + ( p ) : p ∈ ( 0 ; ∞ ) ; B 1 − ( p ) : p ∈ ( p ∗ ; 0 ) ; B 2 − ( p ) : p ∈ ( − ∞ ; p ∗ ) ; B − ( p ) = B 1 − ( p ) ∪ B 2 − ( p ) {displaystyle {egin{array}{l}{mathcal {B}}^{,+}(p){:}quad pin (0;infty );\{mathcal {B}}_{1}^{,-}(p){:}quad pin (p^{ast };0);\{mathcal {B}}_{2}^{,-}(p){:}quad pin (-infty ;p^{ast });\{mathcal {B}}^{,-}(p)={mathcal {B}}_{1}^{,-}(p)cup {mathcal {B}}_{2}^{,-}(p)end{array}}}

(в, Property 2, подсемейства B + {displaystyle {mathcal {B}}^{,+}} и B − {displaystyle {mathcal {B}}^{,-}} названы, соответственно, main subfamily и complementary subfamily).

На рисунках 2, 3, 4 бидуги, принадлежащие подсемействам B + {displaystyle color {sienna}{mathcal {B}}^{,+}} , B 1 − {displaystyle color {blue}{mathcal {B}}_{1}^{,-}} и B 2 − {displaystyle color {green}{mathcal {B}}_{2}^{,-}} показаны, соответственно, коричневым, синим и зелёным цветом.

Бидуги подсемейства B + {displaystyle {mathcal {B}}^{,+}} — короткие. Их кривизна либо возрастает (если ω > 0 {displaystyle omega >0} ), либо убывает (если ω < 0 {displaystyle omega <0} ):

sgn ⁡ ( k 2 − k 1 ) = sgn ⁡ ω = sgn ⁡ ( α + β ) {displaystyle operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=operatorname {sgn} omega =operatorname {sgn}(alpha +eta )} (теорема В.Фогта для коротких спиралей).

Они заключены внутри линзы — области, ограниченной вырожденными бидугами B ( 0 ) {displaystyle {mathcal {B}}(0)} и B ( ∞ ) {displaystyle {mathcal {B}}(infty )} (на рисунках область линзы затемнена). Угловая ширина линзы (со знаком) равна α + β = 2 ω {displaystyle alpha +eta =2omega } . ГМТ (2) есть биссектриса линзы.

Бидуги подсемейства B − {displaystyle {mathcal {B}}^{,-}} имеют противоположный (по отношению к B + {displaystyle {mathcal {B}}^{,+}} ) характер монотонности кривизны.
Если | α | ≠ π {displaystyle |alpha |
ot =pi } и | β | ≠ π {displaystyle |eta |
ot =pi } , то бидуги этого подсемейства — длинные. Разрывная бидуга B ( p ∗ ) {displaystyle color {red}{mathcal {B}}(p^{ast })} отграничивает друг от друга бидуги подсемейств B 1 , 2 − {displaystyle {mathcal {B}}_{{color {blue}1},{color {green}2}}^{,-}} .

Подсемейство B 1 − {displaystyle {mathcal {B}}_{1}^{,-}} пусто, если p ∗ = 0 {displaystyle p^{ast }=0} ( | β | = π ) . {displaystyle (|eta |=pi ).}

Подсемейство B 2 − {displaystyle {mathcal {B}}_{2}^{,-}} пусто, если p ∗ = − ∞ {displaystyle p^{ast }=-infty } ( | α | = π ) . {displaystyle (|alpha |=pi ).}

Переопределение граничных углов в кумулятивном смысле. Интегрирование натурального уравнения бидуги даёт непрерывную (кусочно-линейную) функцию τ ( s ) {displaystyle au (s)} — угол наклона касательной к кривой. При таком определении, непрерывном, её значения могут выйти за пределы ± π {displaystyle pm pi } , и значения на концах могут отличаться от α , β {displaystyle alpha ,eta } на ± 2 π . {displaystyle pm 2pi .} Определим, наряду с α , β {displaystyle alpha ,eta } , кумулятивные версии граничных углов в виде α ~ , β ~ {displaystyle {widetilde {alpha }},{widetilde {eta }}} , с учётом непрерывности τ ( s ) . {displaystyle au (s).} Поправка к углу α {displaystyle alpha } вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки A , {displaystyle A,} то есть пересекает луч { x < − c , y = 0 } {displaystyle {x<-c,,y=0}} ; поправка к углу β {displaystyle eta } вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки B {displaystyle B} (пересекая правое дополнение хорды до бесконечной прямой):

в подсемействе B + {displaystyle {mathcal {B}}^{,+}} : α ~ = α , β ~ = β {displaystyle {widetilde {alpha }}=alpha ,qquad qquad quad {widetilde {eta }}=eta } ;
в подсемействе B 1 − {displaystyle {mathcal {B}}_{1}^{,-}} : α ~ = α − 2 π sgn ⁡ ω , β ~ = β {displaystyle {widetilde {alpha }}=alpha -2pi operatorname {sgn} omega ,;{widetilde {eta }}=eta } ;
в подсемействе B 2 − {displaystyle {mathcal {B}}_{2}^{,-}} : α ~ = α , β ~ = β − 2 π sgn ⁡ ω {displaystyle {widetilde {alpha }}=alpha ,qquad qquad quad {widetilde {eta }}=eta -2pi operatorname {sgn} omega } .

Тогда полный поворот бидуги B ( p ) {displaystyle {mathcal {B}}(p)} равен

θ 1 ( p ) + θ 2 ( p ) = β ~ − α ~ , {displaystyle heta _{1}(p)+ heta _{2}(p)={widetilde {eta }}-{widetilde {alpha }},}

а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству

sgn ⁡ ( k 2 − k 1 ) = sgn ⁡ ( α ~ + β ~ ) . {displaystyle operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=operatorname {sgn}({widetilde {alpha }}+{widetilde {eta }}).}

Так, для бидуг с возрастающей кривизной, k 2 > k 1 {displaystyle k_{2}>k_{1}} , имеем:

α ~ > − π , β ~ > − π , 0 < α ~ + β ~ < 2 π . {displaystyle {widetilde {alpha }}>-pi ,quad {widetilde {eta }}>-pi ,quad 0<{widetilde {alpha }}+{widetilde {eta }}<2pi .}

Бидуга

Примеры бидуг

Описание семейства бидуг

Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар { α , β } . {displaystyle {alpha ,eta }.}

Соотношения для углов и кривизн

0 < | α + β | < 2 π . ( 1 ) {displaystyle qquad 0<|alpha +eta |<2pi .qquad (1)}

Введём обозначения

ω = α + β 2 , γ = α − β 2 {displaystyle omega ={frac {alpha +eta }{2}},quad gamma ={frac {alpha -eta }{2}}} .

Неравенства (1) означают, что sin ⁡ ω ≠ 0 {displaystyle ;sin omega
ot =0} .

Пусть

θ 1 {displaystyle heta _{1}} и L 1 {displaystyle L_{1}} — поворот и длина дуги A J {displaystyle AJ} : θ 1 = k 1 L 1 {displaystyle heta _{1}=k_{1}L_{1}} ;
θ 2 {displaystyle heta _{2}} и L 2 {displaystyle L_{2}} — поворот и длина дуги J B {displaystyle JB} : θ 2 = k 2 L 2 {displaystyle heta _{2}=k_{2}L_{2}} .

Справедливы равенства

Геометрическое место точек сопряжения

Точки сопряжения J {displaystyle J} двух дуг расположены на окружности

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть | | cos ⁡ τ J , sin ⁡ τ J | | {displaystyle ||cos au _{{}_{J}},,sin au _{{}_{J}}||} , где

Вырожденные бидуги

В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.

где C ( x , y ) = ( c 2 − x 2 − y 2 ) sin ⁡ γ − 2 c y cos ⁡ γ {displaystyle ;C(x,y)=(c^{2}-x^{2}-y^{2})sin gamma -2cycos gamma } .

Структура семейства

Подсемейство B 1 − {displaystyle {mathcal {B}}_{1}^{,-}} пусто, если p ∗ = 0 {displaystyle p^{ast }=0} ( | β | = π ) . {displaystyle (|eta |=pi ).}

Подсемейство B 2 − {displaystyle {mathcal {B}}_{2}^{,-}} пусто, если p ∗ = − ∞ {displaystyle p^{ast }=-infty } ( | α | = π ) . {displaystyle (|alpha |=pi ).}

в подсемействе B + {displaystyle {mathcal {B}}^{,+}} : α ~ = α , β ~ = β {displaystyle {widetilde {alpha }}=alpha ,qquad qquad quad {widetilde {eta }}=eta } ;
в подсемействе B 1 − {displaystyle {mathcal {B}}_{1}^{,-}} : α ~ = α − 2 π sgn ⁡ ω , β ~ = β {displaystyle {widetilde {alpha }}=alpha -2pi operatorname {sgn} omega ,;{widetilde {eta }}=eta } ;
в подсемействе B 2 − {displaystyle {mathcal {B}}_{2}^{,-}} : α ~ = α , β ~ = β − 2 π sgn ⁡ ω {displaystyle {widetilde {alpha }}=alpha ,qquad qquad quad {widetilde {eta }}=eta -2pi operatorname {sgn} omega } .

Тогда полный поворот бидуги B ( p ) {displaystyle {mathcal {B}}(p)} равен

θ 1 ( p ) + θ 2 ( p ) = β ~ − α ~ , {displaystyle heta _{1}(p)+ heta _{2}(p)={widetilde {eta }}-{widetilde {alpha }},}

а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству

sgn ⁡ ( k 2 − k 1 ) = sgn ⁡ ( α ~ + β ~ ) . {displaystyle operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=operatorname {sgn}({widetilde {alpha }}+{widetilde {eta }}).}

Так, для бидуг с возрастающей кривизной, k 2 > k 1 {displaystyle k_{2}>k_{1}} , имеем:

α ~ > − π , β ~ > − π , 0 < α ~ + β ~ < 2 π . {displaystyle {widetilde {alpha }}>-pi ,quad {widetilde {eta }}>-pi ,quad 0<{widetilde {alpha }}+{widetilde {eta }}<2pi .}

Бидуга

Примеры бидуг

Описание семейства бидуг

Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар { α , β } . {displaystyle {alpha ,eta }.}

Соотношения для углов и кривизн

0 < | α + β | < 2 π . ( 1 ) {displaystyle qquad 0<|alpha +eta |<2pi .qquad (1)}

Введём обозначения

ω = α + β 2 , γ = α − β 2 {displaystyle omega ={frac {alpha +eta }{2}},quad gamma ={frac {alpha -eta }{2}}} .

Неравенства (1) означают, что sin ⁡ ω ≠ 0 {displaystyle ;sin omega
ot =0} .

Пусть

θ 1 {displaystyle heta _{1}} и L 1 {displaystyle L_{1}} — поворот и длина дуги A J {displaystyle AJ} : θ 1 = k 1 L 1 {displaystyle heta _{1}=k_{1}L_{1}} ;
θ 2 {displaystyle heta _{2}} и L 2 {displaystyle L_{2}} — поворот и длина дуги J B {displaystyle JB} : θ 2 = k 2 L 2 {displaystyle heta _{2}=k_{2}L_{2}} .

Справедливы равенства

Геометрическое место точек сопряжения

Точки сопряжения J {displaystyle J} двух дуг расположены на окружности

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть | | cos ⁡ τ J , sin ⁡ τ J | | {displaystyle ||cos au _{{}_{J}},,sin au _{{}_{J}}||} , где

Вырожденные бидуги

В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.

где C ( x , y ) = ( c 2 − x 2 − y 2 ) sin ⁡ γ − 2 c y cos ⁡ γ {displaystyle ;C(x,y)=(c^{2}-x^{2}-y^{2})sin gamma -2cycos gamma } .

Структура семейства

Подсемейство B 1 − {displaystyle {mathcal {B}}_{1}^{,-}} пусто, если p ∗ = 0 {displaystyle p^{ast }=0} ( | β | = π ) . {displaystyle (|eta |=pi ).}

Подсемейство B 2 − {displaystyle {mathcal {B}}_{2}^{,-}} пусто, если p ∗ = − ∞ {displaystyle p^{ast }=-infty } ( | α | = π ) . {displaystyle (|alpha |=pi ).}

в подсемействе B + {displaystyle {mathcal {B}}^{,+}} : α ~ = α , β ~ = β {displaystyle {widetilde {alpha }}=alpha ,qquad qquad quad {widetilde {eta }}=eta } ;
в подсемействе B 1 − {displaystyle {mathcal {B}}_{1}^{,-}} : α ~ = α − 2 π sgn ⁡ ω , β ~ = β {displaystyle {widetilde {alpha }}=alpha -2pi operatorname {sgn} omega ,;{widetilde {eta }}=eta } ;
в подсемействе B 2 − {displaystyle {mathcal {B}}_{2}^{,-}} : α ~ = α , β ~ = β − 2 π sgn ⁡ ω {displaystyle {widetilde {alpha }}=alpha ,qquad qquad quad {widetilde {eta }}=eta -2pi operatorname {sgn} omega } .

Тогда полный поворот бидуги B ( p ) {displaystyle {mathcal {B}}(p)} равен

θ 1 ( p ) + θ 2 ( p ) = β ~ − α ~ , {displaystyle heta _{1}(p)+ heta _{2}(p)={widetilde {eta }}-{widetilde {alpha }},}

а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству

sgn ⁡ ( k 2 − k 1 ) = sgn ⁡ ( α ~ + β ~ ) . {displaystyle operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=operatorname {sgn}({widetilde {alpha }}+{widetilde {eta }}).}

Так, для бидуг с возрастающей кривизной, k 2 > k 1 {displaystyle k_{2}>k_{1}} , имеем:

α ~ > − π , β ~ > − π , 0 < α ~ + β ~ < 2 π . {displaystyle {widetilde {alpha }}>-pi ,quad {widetilde {eta }}>-pi ,quad 0<{widetilde {alpha }}+{widetilde {eta }}<2pi .}