Башня полей

Башня полей — последовательность из расширений для некоторого поля K {displaystyle K} : K ⊂ K 1 ⊂ ⋯ ⊂ K i ⊂ … {displaystyle Ksubset K_{1}subset dots subset K_{i}subset dots } , может быть конечной или бесконечной. Часто записывается вертикально:

⋮ | K i | ⋮ | K 1 | K {displaystyle {egin{array}{c}vdots \|\K_{i}\|\vdots \|\K_{1}\|\Kend{array}}}

Например, Q ⊂ R ⊂ C {displaystyle mathbb {Q} subset mathbb {R} subset mathbb {C} } — конечная башня расширений поля рациональных чисел, последовательно включающая поля вещественных и комплексных чисел.

Нормальная башня полей — последовательность нормальных расширений, сепарабельная башня полей — последовательность сепарабельных расширений, абелева башня полей — последовательность абелевых расширений.

Классическая задача разрешимости в радикалах многочленов, решённая средствами теории Галуа, может быть сформулирована в терминах башен полей: разрешимость эквивалентна погружаемости поля коэффициентов данного многочлена нормальную и абелеву башню полей.

Башня полей классов — башня полей, построенная над некоторым полем алгебраических чисел, каждый элемент которой является максимальным абелевым неразветвлённым расширением предыдущего. Один из результатов теории полей классов, влекущий важные следствия для алгебраической теории чисел — отрицательное решение неограниченной проблемы Бёрнсайда (теорема Голода — Шафаревича), на языке полей классов формулируется следующим образом: существуют бесконечные башни классов полей (в частности, такова башня, построенная над расширением поля рациональных чисел, полученного присоединением числа 30030 {displaystyle {sqrt {30030}}} ).