Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент t {displaystyle t} системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде имеет вид:
d x k d t = f k ( x 1 , . . . , x n ) , k = 1 , . . . , n {displaystyle {frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},…,x_{n}),,k=1,…,n}

или в векторной записи:
d x ¯ d t = f ¯ ( x ¯ ) {displaystyle {frac {d{ar {x}}}{dt}}={ar {f}}({ar {x}})}

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию x n + 1 {displaystyle x_{n+1}} , заменив ею аргумент t {displaystyle t} там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением d x n + 1 d t = 1 {displaystyle {frac {dx_{n+1}}{dt}}=1} . Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с n {displaystyle n} на n + 1 {displaystyle n+1} , что усложняет структуру семейства решений.

Свойства автономной системы

Если x ¯ = x ¯ ( t ) {displaystyle {ar {x}}={ar {x}}(t)} — решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, то есть процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, то есть процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, то есть x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},dots ,x_{n}} , и не зависят от выбора начального значения аргумента t {displaystyle t} .