Теорема Эрдёша — Секереша в комбинаторике — утверждение, уточняющее одно из следствий теоремы Рамсея для финитного случая. В то время как теорема Рамсея облегчает доказательство того, что каждая последовательность разных действительных чисел содержит монотонно возрастающую бесконечную подпоследовательность или монотонно убывающую бесконечную подпоследовательность, результат, доказанный Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, идёт дальше. Для данных r, s они показали, что любая последовательность разных чисел длины не менее (r-1)(s-1)+1 содержит монотонно возрастающую подпоследовательность длины r или монотонно убывающую длины s. Доказательство появилось в той же самой работе 1935 года, что и задача со счастливым концом.
Для r=3 и s=2, формула говорит, что любая перестановка трёх чисел имеет возрастающую подпоследовательность длиной три или убывающую подпоследовательность длиной два. Из шести перестановок чисел 1,2,3:
Позиции чисел в последовательности можно интерпретировать как x-координаты точек в евклидовой плоскости, а сами числа как y-координаты; с другой стороны, для любого множества точек на плоскости их y-координаты, упорядоченные по их x-координатам, образуют последовательность чисел (если только два числа не имеют двух одинаковых x-координат). При такой связи между последовательностями и множествами точек теорему Эрдёша — Секереша можно интерпретировать как утверждение, что для любого множества из rs + 1 или более точек найдётся ломаная из r положительно наклоненных отрезков или из s отрезков с отрицательным наклоном. Например, при r = s = 4 любое множество из 17 или более точек имеет цепь из четырёх рёбер, в котором все наклоны имеют одинаковый знак.
Теорема Эрдёша — Секереша может быть доказана несколькими разными способами; Майкл Стил дает обзор шести разных доказательств теоремы, в том числе с использованием принципа Дирихле и теоремы Дилуорса. Прочие способы доказательства, приводимые Стилом, включают оригинальное доказательство Эрдёша и Секереша и доказательство Блэквелла, Ловаса и самого Стила.Доказательство также есть в книге.
В последовательности длины (r − 1)(s − 1) + 1 пометим каждое число ni парой (ai,bi), где ai — длина наибольшей монотонно возрастающей подпоследовательности, заканчивающейся на ni, bi длина наибольшей монотонно убывающей подпоследовательности, заканчивающейся на ni. Все числа в последовательности помечены различными парами: если i < j и ni ≤ nj, то ai < aj; если ni ≥ nj, то bi < bj. Но есть всего (r − 1)(s − 1) возможных пар, если ai не больше r − 1, а bi не больше s − 1, так что по принципу Дирихле существует i, для которого ai или bi выходит за пределы этого ограничения. Если ai выходит за пределы, то ni — часть возрастающей подпоследовательности длины не меньше r, если bi выходит за пределы, то ni — часть убывающей подпоследовательности длины не меньше s.
Читайте также
Трудовые споры: как добиться справедливости от недобросовестного работодателя
Трудовые отношения — это тонкая материя, полная нюансов и правовых
Как отличить брендовые очки от подделки
Брендовые солнцезащитные очки — это не только модный аксессуар, но
Дизайн встроенной кухни: как оптимизировать пространство
Несмотря на большое разнообразие готовой (типовой) мебели, мебель на заказ
Михаил Владимирович Мишустин: отличный управленец и экономист
Михаил Владимирович Мишустин — выдающийся российский государственный и политический деятель,
Самые популярные рецепты пиццы: идеальное сочетание ингредиентов для настоящего гурмана
Пицца – это одно из наиболее популярных блюд в мире,
Лето – это время, когда дети, закончив учебный год, уходят
Как получить гражданство Бельгии и что оно дает?
Бельгия, расположенная в сердце Европейского союза, по праву считается одним
Когда начинать готовиться к ЕГЭ и ОГЭ 2024: полезные рекомендации
Начало нового учебного года часто становится временем повышенной тревожности как
На чем можно долететь до Мальдив? Регулярный рейс или аренда частного самолета?
Путешествие на Мальдивы — это мечта многих туристов. Острова, утопающие
Зубной имплантат: преимущества выбора при протезировании
Зубной имплантат – это современная технология, предоставляющая возможность восстановить утраченный
Яйцо шоколадное Kinder сюрприз: волшебство, которое завоевало сердца детей и взрослых
Яйцо Kinder сюрприз, безусловно, является одним из наиболее популярных шоколадных
Суши и пицца: почему они так популярны в службе доставки
Службы доставки еды становятся всё популярнее среди людей, желающих насладиться
Пептидные препараты: сущность и области применения
Пептидные препараты стали одним из важнейших направлений в современной медицине