Риманов тензор кривизны представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае — произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением.
Назван в честь Бернхарда Римана.
Тензор кривизны R ( u , v ) {displaystyle R(u,;v)} определяется как линейное преобразование касательного пространства в каждой точке многообразия, которое характеризует изменение вектора, параллельно перенесённого по бесконечно малому замкнутому параллелограмму, натянутому на векторы u , v {displaystyle u,;v} .
Тензор кривизны выражается через связность Леви-Чивиты, или в общем случае аффинную связность ∇ {displaystyle
abla } (которая также называется ковариантной производной) следующим образом:
R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w − ∇ [ u , v ] w , {displaystyle R(u,;v)w=
abla _{u}
abla _{v}w-
abla _{v}
abla _{u}w-
abla _{[u,;v]}w,}
где [ u , v ] {displaystyle [u,;v]} — скобка Ли.
Если векторные поля задаются дифференцированием по координатам, u = ∂ / ∂ x i {displaystyle u=partial /partial x_{i}} и v = ∂ / ∂ x j {displaystyle v=partial /partial x_{j}} , и поэтому коммутируют ( [ u , v ] = 0 {displaystyle [u,;v]=0} ), формула принимает упрощённый вид:
R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w , {displaystyle R(u,;v)w=
abla _{u}
abla _{v}w-
abla _{v}
abla _{u}w,}
таким образом, тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантных производных.
Примечание. Некоторые авторы определяют тензор кривизны с противоположным знаком
В системе координат x μ {displaystyle x^{mu }} компоненты тензора кривизны определяются так:
R ρ σ μ ν = d x ρ ( R ( ∂ μ , ∂ ν ) ∂ σ ) , {displaystyle {R^{
ho }}_{sigma mu
u }=dx^{
ho }(R(partial _{mu },;partial _{
u })partial _{sigma }),}
где ∂ μ = ∂ / ∂ x μ {displaystyle partial _{mu }=partial /partial x^{mu }} — векторное поле, в каждой точке касательное к координатной линии x μ {displaystyle x^{mu }} . В терминах символов Кристоффеля:
R ρ σ μ ν = ∂ μ Γ ν σ ρ − ∂ ν Γ μ σ ρ + Γ μ λ ρ Γ ν σ λ − Γ ν λ ρ Γ μ σ λ . {displaystyle {R^{
ho }}_{sigma mu
u }=partial _{mu }Gamma _{
u sigma }^{
ho }-partial _{
u }Gamma _{mu sigma }^{
ho }+Gamma _{mu lambda }^{
ho }Gamma _{
u sigma }^{lambda }-Gamma _{
u lambda }^{
ho }Gamma _{mu sigma }^{lambda }.}
В двумерном пространстве нетривиальной компонентой является только гауссова кривизна.
Тензор кривизны Римана обладает следующими свойствами симметрии:
R ( u , v ) = − R ( v , u ) ; {displaystyle R(u,;v)=-R(v,;u);} ⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = − ⟨ R ( u , v ) z , w ⟩ ; {displaystyle langle R(u,;v)w,;z
angle =-langle R(u,;v)z,;w
angle ;} R ( u , v ) w + R ( v , w ) u + R ( w , u ) v = 0. {displaystyle R(u,;v)w+R(v,;w)u+R(w,;u)v=0.}
Последнее тождество было открыто Риччи, хотя называется первым тождеством Бьянки или алгебраическим тождеством Бьянки.
Эти три тождества задают полный набор симметрий тензора кривизны, то есть для всякого тензора, удовлетворяющего этим соотношениям, можно найти риманово многообразие, кривизна которого описывается этим тензором. Простой комбинаторный подсчёт показывает, что тензор кривизны должен иметь n 2 ( n 2 − 1 ) / 12 {displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12} независимых компонент.
Еще одно полезное соотношение следует из этих трех тождеств:
⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ R ( w , z ) u , v ⟩ . {displaystyle langle R(u,;v)w,;z
angle =langle R(w,;z)u,;v
angle .}
Тождество Бьянки (ещё называется вторым тождеством Бьянки или дифференциальным тождеством Бьянки) привлекает ковариантные производные:
∇ u R ( v , w ) + ∇ v R ( w , u ) + ∇ w R ( u , v ) = 0. {displaystyle
abla _{u}R(v,;w)+
abla _{v}R(w,;u)+
abla _{w}R(u,;v)=0.}
В заданной системе координат в окрестности некоторой точки многообразия приведённые выше тождества в компонентах тензора кривизны могут быть записаны следующим образом. Круглые скобки обозначают симметризацию; индексы после точки-запятой означают ковариантную производную.
R a b c d = − R b a c d = − R a b d c ; {displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc};} R a b c d = R c d a b ; {displaystyle R_{abcd}=R_{cdab};} R a ( b c d ) = R a b c d + R a c d b + R a d b c = 0 {displaystyle R_{a(bcd)}=R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}=0} (первое тождество Бьянки); R a b ( c d ; e ) = R a b c d ; e + R a b d e ; c + R a b e c ; d = 0 {displaystyle R_{ab(cd;e)}=R_{abcd;e}+R_{abde;c}+R_{abec;d}=0} (второе тождество Бьянки).
Читайте также
Трудовые споры: как добиться справедливости от недобросовестного работодателя
Трудовые отношения — это тонкая материя, полная нюансов и правовых
Как отличить брендовые очки от подделки
Брендовые солнцезащитные очки — это не только модный аксессуар, но
Дизайн встроенной кухни: как оптимизировать пространство
Несмотря на большое разнообразие готовой (типовой) мебели, мебель на заказ
Михаил Владимирович Мишустин: отличный управленец и экономист
Михаил Владимирович Мишустин — выдающийся российский государственный и политический деятель,
Самые популярные рецепты пиццы: идеальное сочетание ингредиентов для настоящего гурмана
Пицца – это одно из наиболее популярных блюд в мире,
Лето – это время, когда дети, закончив учебный год, уходят
Как получить гражданство Бельгии и что оно дает?
Бельгия, расположенная в сердце Европейского союза, по праву считается одним
Когда начинать готовиться к ЕГЭ и ОГЭ 2024: полезные рекомендации
Начало нового учебного года часто становится временем повышенной тревожности как
На чем можно долететь до Мальдив? Регулярный рейс или аренда частного самолета?
Путешествие на Мальдивы — это мечта многих туристов. Острова, утопающие
Зубной имплантат: преимущества выбора при протезировании
Зубной имплантат – это современная технология, предоставляющая возможность восстановить утраченный
Яйцо шоколадное Kinder сюрприз: волшебство, которое завоевало сердца детей и взрослых
Яйцо Kinder сюрприз, безусловно, является одним из наиболее популярных шоколадных
Суши и пицца: почему они так популярны в службе доставки
Службы доставки еды становятся всё популярнее среди людей, желающих насладиться
Пептидные препараты: сущность и области применения
Пептидные препараты стали одним из важнейших направлений в современной медицине