Ортогональные функции

Февраль 24, 2021 / Комментарии 0

Две, в общем случае, комплекснозначные функции φ 1 ( t ) {displaystyle varphi _{1}(t)} и φ 2 ( t ) {displaystyle varphi _{2}(t)} , принадлежащие пространству Лебега L 2 ( E ) {displaystyle L_{2}(E)} , где E {displaystyle E} — измеримое множество, называются ортогональными, если

∫ E φ 1 ( t ) φ 2 ( t ) ¯ d t = 0 {displaystyle int limits _{E}!varphi _{1}(t){overline {varphi _{2}(t)}},dt=0}

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности. Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом w {displaystyle w} функции f {displaystyle f} и g {displaystyle g} , если

  ∫ Ω ⟨ f ( x ) , g ( x ) ⟩ w ( x ) d Ω = 0 {displaystyle int limits _{Omega }!langle f(x),g(x)
angle w(x),dOmega =0}

где ⟨ f ( x ) , g ( x ) ⟩ {displaystyle langle f(x),g(x)
angle } — скалярное произведение векторов f ( x ) {displaystyle f(x)} и g ( x ) {displaystyle g(x)} — значений векторнозначных функций f {displaystyle f} и g {displaystyle g} в точке x {displaystyle x} , x {displaystyle x} — точка области Ω {displaystyle Omega } , а d Ω {displaystyle dOmega } — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных f ( x ) {displaystyle f(x)} , g ( x ) {displaystyle g(x)} скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных f ( x ) {displaystyle f(x)} , g ( x ) {displaystyle g(x)} : ⟨ f ( x ) , g ( x ) ⟩ = f ¯ ( x ) g ( x ) {displaystyle langle f(x),g(x)
angle ={ar {f}}(x)g(x)} .

Требование принадлежности функций пространству L 2 ( E ) {displaystyle L_{2}(E)} связано с тем, что при p ≠ 2 {displaystyle p
eq 2} пространства L p ( E ) {displaystyle L_{p}(E)} не образуют гильбертова пространства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.

Пример

  • sin ⁡ x {displaystyle sin x} и cos ⁡ x {displaystyle cos x} являются ортогональными функциями на интервале [ 0 , π ] {displaystyle [0,pi ]}
  • sin ⁡ ( 2 π k n x {displaystyle sin(2pi knx} ) и cos ⁡ ( 2 π k n x ) {displaystyle cos(2pi knx)} , где n {displaystyle n} — целое, ортогональны на интервале [ 0 , T ] , T = 1 / k {displaystyle [0,T],T=1/k}
  • x {displaystyle x} и 1 {displaystyle 1} ортогональны на интервале [ − 1 , 1 ] {displaystyle [-1,1]}
  • Подпишитесь на свежую email рассылку сайта!

    Читайте также