Квантовый гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора. При этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

H ^ = p ^ 2 2 m + m ω 2 q ^ 2 2 {displaystyle !{hat {H}}={frac {{hat {p}}^{2}}{2m}}+{frac {momega ^{2}{hat {q}}^{2}}{2}}}

В координатном представлении p ^ = − i ℏ ∂ / ∂ x {displaystyle {hat {p}}=-ihbar partial /partial x} , q ^ = x {displaystyle {hat {q}}=x} . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых дифференциальное уравнение в частных производных

− ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x ) + m ω 2 x 2 2 ψ ( x ) = E ψ ( x ) {displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}psi (x)+{frac {momega ^{2}x^{2}}{2}}psi (x)=Epsi (x)}

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для E n = ℏ ω ( n + 1 2 )   ,   n = 0 , 1 , 2 , … {displaystyle E_{n}=hbar omega left(n+{1 over 2}
ight) , n=0,1,2,ldots }

решение имеет вид:

ψ n ( x ) = 1 2 n n ! ⋅ ( m ω π ℏ ) 1 / 4 ⋅ exp ⁡ ( − m ω x 2 2 ℏ ) ⋅ H n ( m ω ℏ x ) , {displaystyle psi _{n}(x)={frac {1}{sqrt {2^{n}n!}}}cdot left({frac {momega }{pi hbar }}
ight)^{1/4}cdot exp left(-{frac {momega x^{2}}{2hbar }}
ight)cdot H_{n}left({sqrt {frac {momega }{hbar }}}x
ight),}

функции H n {displaystyle H_{n}} — полиномы Эрмита:

H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна ℏ ω {displaystyle hbar omega } ; во-вторых наименьшее значение энергии равно ℏ ω / 2 {displaystyle hbar omega /2} . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Операторы рождения и уничтожения

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения — a ^ + {displaystyle {hat {a}}^{+}} , оператор уничтожения — a ^ {displaystyle {hat {a}}} , их коммутатор равен

[ a ^ , a ^ + ] = a ^ a ^ + − a ^ + a ^ = i ℏ ( p ^ q ^ − q ^ p ^ ) = 1 {displaystyle [{hat {a}},{hat {a}}^{+}]={hat {a}}{hat {a}}^{+}-{hat {a}}^{+}{hat {a}}={frac {i}{hbar }}({hat {p}}{hat {q}}-{hat {q}}{hat {p}})=1}

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

H ^ = ℏ ω ( a ^ + a ^ + 1 2 ) = ℏ ω ( n ^ + 1 2 ) {displaystyle {hat {H}}=hbar omega left({hat {a}}^{+}{hat {a}}+{frac {1}{2}}
ight)=hbar omega left({hat {n}}+{frac {1}{2}}
ight)}

где n ^ = a ^ + a ^ {displaystyle {hat {n}}={hat {a}}^{+}{hat {a}}} — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные вектора такого гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

H ^ = p ^ 2 2 m + 1 2 m ω 2 q ^ 2 + λ q ^ 3 {displaystyle {hat {H}}={{hat {p}}^{2} over 2m}+{1 over 2}momega ^{2}{hat {q}}^{2}+lambda {hat {q}}^{3}}

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно

λ ( ℏ 2 m ω ) 3 2 ( a ^ + a ^ + ) 3 . {displaystyle lambda left({hbar over 2momega }
ight)^{3 over 2}({hat {a}}+{hat {a}}^{+})^{3}.}

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния | ψ E ⟩ {displaystyle left|psi _{E}
ight
angle } равна

Δ E ( 2 ) = λ 2 ⟨ ψ E | q 3 1 E − ℏ ω / 2 q 3 | ψ E ⟩ . {displaystyle Delta E^{(2)}=lambda ^{2}leftlangle psi _{E}
ight|q^{3}{1 over E-hbar omega /2}q^{3}left|psi _{E}
ight
angle .}

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

H ^ = ∑ i = 1 N p ^ i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ i < j N ( q ^ i − q ^ j ) 2 {displaystyle {hat {H}}=sum _{i=1}^{N}{{hat {p}}_{i}^{2} over 2m}+{1 over 2}momega ^{2}sum _{i<j}^{N}({hat {q}}_{i}-{hat {q}}_{j})^{2}}

Здесь под q ^ i {displaystyle {hat {q}}_{i}} и p ^ i {displaystyle {hat {p}}_{i}} подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс i {displaystyle i} -той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы f ( t ) {displaystyle f(t)} квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии ( n {displaystyle n} ) на другой ( m {displaystyle m} ). Вероятность этого перехода W n , m ( t ) {displaystyle W_{n,m}(t)} для осциллятора без затухания даётся формулой:

W n , m ( t ) = n ! m ! | δ | 2 ( n − m ) e x p ( − | δ 2 | ( L n m − n ( | δ | 2 ) ) 2 ) {displaystyle W_{n,m}(t)={frac {n!}{m!}}|delta |^{2(n-m)}expleft(-|delta ^{2}|left(L_{n}^{m-n}(|delta |^{2})
ight)^{2}
ight)} ,

где функция δ ( t ) {displaystyle delta (t)} определяется как:

δ ( t ) = − i l ℏ ∫ 0 t f ( τ ) e x p ( i ω τ ) d τ {displaystyle delta (t)=-ilhbar int limits _{0}^{t}{f( au )exp(iomega au )d au }} ,

а L m m − n {displaystyle L_{m}^{m-n}} — полиномы Лагерра.