Апериодическое звено

Январь 30, 2021 / Комментарии 0

Апериодическое звено — понятие, относящееся к теории автоматического управления. Типовое динамическое звено.

Апериодическое звено первого порядка

Апериодическое звено первого порядка — одноемкостное, инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

a 1 y ˙ ( t ) + a 0 y ( t ) = b 0 x ( t ) {displaystyle a_{1}{dot {y}}(t)+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)} .

К стандартному виду приводится делением на a 0 {displaystyle a_{0}} правой и левой части уравнения:

T y ˙ ( t ) + y ( t ) = k x ( t ) {displaystyle T{dot {y}}(t)+y(t)=kx(t)} ,

где:

  • y ( t ) {displaystyle y(t)} — выходная величина;
  • x ( t ) {displaystyle x(t)} — входная величина;
  • k = b 0 a 0 {displaystyle k={frac {b_{0}}{a_{0}}}} — коэффициент усиления звена;
  • T = a 1 a 0 {displaystyle T={frac {a_{1}}{a_{0}}}} — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.

Временные характеристики

Переходная функция:

h ( t ) = k ( 1 − e − t T ) {displaystyle h(t)=k(1-mathrm {e} ^{-{frac {t}{T}}})}

Весовая функция:

w ( t ) = k T e − t T {displaystyle w(t)={frac {k}{T}}mathrm {e} ^{-{frac {t}{T}}}}

Передаточная функция

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путём применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа:

T s Y ( s ) + Y ( s ) = k X ( s ) {displaystyle TsY(s)+Y(s)=kX(s)} , Y ( s ) [ T s + 1 ] = X ( s ) k {displaystyle Y(s)[Ts+1]=X(s)k} . W ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = k T s + 1 {displaystyle W(s)={frac {Y(s)}{X(s)}}={frac {k}{Ts+1}}}

Комплексная передаточная функция получается при подставлении вместо s {displaystyle s} комплексной переменой j ω {displaystyle jomega } .

Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число ( 1 − j ω T ) {displaystyle (1-jomega T)} :

W ( j ω ) = k 1 + j ω T ⋅ 1 − j ω T 1 − j ω T = k − j ω T k 1 + ω 2 T 2 = k 1 + ω 2 T 2 − j ω T k 1 + ω 2 T 2 {displaystyle W(jomega )={frac {k}{1+jomega T}}cdot {frac {1-jomega T}{1-jomega T}}={frac {k-jomega Tk}{1+omega ^{2}T^{2}}}={frac {k}{1+omega ^{2}T^{2}}}-j{frac {omega Tk}{1+omega ^{2}T^{2}}}} R e { W ( j ω ) } = k 1 + ω 2 T 2 {displaystyle mathrm {Re} left{W(jomega )
ight}={frac {k}{1+omega ^{2}T^{2}}}} I m { W ( j ω ) } = − ω T k 1 + ω 2 T 2 {displaystyle mathrm {Im} left{W(jomega )
ight}=-{frac {omega Tk}{1+omega ^{2}T^{2}}}}

АФЧХ

Амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной передаточной функции:

W ( s ) = 2 0.1 s + 1 {displaystyle W(s)={frac {2}{0.1s+1}}}

ЛАФЧХ

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной выше передаточной функции.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания частот ω < 1 T {displaystyle omega <{frac {1}{T}}} проходят через апериодическое звено 1-го порядка с отношением выходной и входной амплитуд близким к коэффициенту передачи звена k {displaystyle k} . Колебания частот ω > 1 T {displaystyle omega >{frac {1}{T}}} проходят со значительным уменьшением амплитуды, следовательно «плохо пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени T {displaystyle T} , а следовательно, чем меньше инерционность звена, тем более растянута амплитудная характеристика вдоль оси частот и больше полоса пропускания частот данного звена. Аналогично, в случае фазовой характеристики, чем меньше постоянная времени T {displaystyle T} , тем более растянута фазовая характеристика вдоль оси частот и меньше фазовые сдвиги между выходными и входными колебаниями. Угол отставания с увеличением частоты растет, а амплитуда колебаний на выходе падает. Предельный угол отставания равен -π/2.

После подачи на вход возмущающего воздействия отклонение выходной величины будет изменяться по экспоненте с максимальной скоростью в начальный момент. Затем скорость уменьшается до нуля, а выходная величина достигает нового установившегося значения.

В системах автоматического управления в качестве апериодического звена могут выступать двигатели постоянного тока, сопротивления и индуктивности, нагревательная камера, гидравлическая система с дросселем на выходе и др.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка.

Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена 2-го порядка имеет вид
T 2 2 d 2 x 2 d t 2 + T 1 d x 2 d t + x 2 = k x 1 {displaystyle T_{2}^{2}{frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+T_{1}{frac {dx_{2}}{dt}}+x_{2}=kx_{1}} ,

Передаточная функция апериодического звена 2-го порядка:
W ( s ) = k T 2 2 s 2 + T 1 s + 1 {displaystyle W(s)={frac {k}{T_{2}^{2}s^{2}+T_{1}s+1}}}

Два последовательно соединенных апериодических звена 1-го порядка, могут быть представлены как апериодическое звено 2-го порядка с общим коэффициентом усиления.

Примеры применения

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь, где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.

Подпишитесь на свежую email рассылку сайта!

Апериодическое звено

Январь 26, 2021 / Комментарии 0

Апериодическое звено — понятие, относящееся к теории автоматического управления. Типовое динамическое звено.

Апериодическое звено первого порядка

Апериодическое звено первого порядка — одноемкостное, инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

a 1 y ˙ ( t ) + a 0 y ( t ) = b 0 x ( t ) {displaystyle a_{1}{dot {y}}(t)+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)} .

К стандартному виду приводится делением на a 0 {displaystyle a_{0}} правой и левой части уравнения:

T y ˙ ( t ) + y ( t ) = k x ( t ) {displaystyle T{dot {y}}(t)+y(t)=kx(t)} ,

где:

  • y ( t ) {displaystyle y(t)} — выходная величина;
  • x ( t ) {displaystyle x(t)} — входная величина;
  • k = b 0 a 0 {displaystyle k={frac {b_{0}}{a_{0}}}} — коэффициент усиления звена;
  • T = a 1 a 0 {displaystyle T={frac {a_{1}}{a_{0}}}} — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.

Временные характеристики

Переходная функция:

h ( t ) = k ( 1 − e − t T ) {displaystyle h(t)=k(1-mathrm {e} ^{-{frac {t}{T}}})}

Весовая функция:

w ( t ) = k T e − t T {displaystyle w(t)={frac {k}{T}}mathrm {e} ^{-{frac {t}{T}}}}

Передаточная функция

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путём применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа:

T s Y ( s ) + Y ( s ) = k X ( s ) {displaystyle TsY(s)+Y(s)=kX(s)} , Y ( s ) [ T s + 1 ] = X ( s ) k {displaystyle Y(s)[Ts+1]=X(s)k} . W ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = k T s + 1 {displaystyle W(s)={frac {Y(s)}{X(s)}}={frac {k}{Ts+1}}}

Комплексная передаточная функция получается при подставлении вместо s {displaystyle s} комплексной переменой j ω {displaystyle jomega } .

Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число ( 1 − j ω T ) {displaystyle (1-jomega T)} :

W ( j ω ) = k 1 + j ω T ⋅ 1 − j ω T 1 − j ω T = k − j ω T k 1 + ω 2 T 2 = k 1 + ω 2 T 2 − j ω T k 1 + ω 2 T 2 {displaystyle W(jomega )={frac {k}{1+jomega T}}cdot {frac {1-jomega T}{1-jomega T}}={frac {k-jomega Tk}{1+omega ^{2}T^{2}}}={frac {k}{1+omega ^{2}T^{2}}}-j{frac {omega Tk}{1+omega ^{2}T^{2}}}} R e { W ( j ω ) } = k 1 + ω 2 T 2 {displaystyle mathrm {Re} left{W(jomega )
ight}={frac {k}{1+omega ^{2}T^{2}}}} I m { W ( j ω ) } = − ω T k 1 + ω 2 T 2 {displaystyle mathrm {Im} left{W(jomega )
ight}=-{frac {omega Tk}{1+omega ^{2}T^{2}}}}

АФЧХ

Амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной передаточной функции:

W ( s ) = 2 0.1 s + 1 {displaystyle W(s)={frac {2}{0.1s+1}}}

ЛАФЧХ

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной выше передаточной функции.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания частот ω < 1 T {displaystyle omega <{frac {1}{T}}} проходят через апериодическое звено 1-го порядка с отношением выходной и входной амплитуд близким к коэффициенту передачи звена k {displaystyle k} . Колебания частот ω > 1 T {displaystyle omega >{frac {1}{T}}} проходят со значительным уменьшением амплитуды, следовательно «плохо пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени T {displaystyle T} , а следовательно, чем меньше инерционность звена, тем более растянута амплитудная характеристика вдоль оси частот и больше полоса пропускания частот данного звена. Аналогично, в случае фазовой характеристики, чем меньше постоянная времени T {displaystyle T} , тем более растянута фазовая характеристика вдоль оси частот и меньше фазовые сдвиги между выходными и входными колебаниями. Угол отставания с увеличением частоты растет, а амплитуда колебаний на выходе падает. Предельный угол отставания равен -π/2.

После подачи на вход возмущающего воздействия отклонение выходной величины будет изменяться по экспоненте с максимальной скоростью в начальный момент. Затем скорость уменьшается до нуля, а выходная величина достигает нового установившегося значения.

В системах автоматического управления в качестве апериодического звена могут выступать двигатели постоянного тока, сопротивления и индуктивности, нагревательная камера, гидравлическая система с дросселем на выходе и др.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка.

Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена 2-го порядка имеет вид
T 2 2 d 2 x 2 d t 2 + T 1 d x 2 d t + x 2 = k x 1 {displaystyle T_{2}^{2}{frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+T_{1}{frac {dx_{2}}{dt}}+x_{2}=kx_{1}} ,

Передаточная функция апериодического звена 2-го порядка:
W ( s ) = k T 2 2 s 2 + T 1 s + 1 {displaystyle W(s)={frac {k}{T_{2}^{2}s^{2}+T_{1}s+1}}}

Два последовательно соединенных апериодических звена 1-го порядка, могут быть представлены как апериодическое звено 2-го порядка с общим коэффициентом усиления.

Примеры применения

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь, где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.

Подпишитесь на свежую email рассылку сайта!

Апериодическое звено

Январь 25, 2021 / Комментарии 0

Апериодическое звено — понятие, относящееся к теории автоматического управления. Типовое динамическое звено.

Апериодическое звено первого порядка

Апериодическое звено первого порядка — одноемкостное, инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

a 1 y ˙ ( t ) + a 0 y ( t ) = b 0 x ( t ) {displaystyle a_{1}{dot {y}}(t)+a_{0}y(t)=b_{0}x(t)} .

К стандартному виду приводится делением на a 0 {displaystyle a_{0}} правой и левой части уравнения:

T y ˙ ( t ) + y ( t ) = k x ( t ) {displaystyle T{dot {y}}(t)+y(t)=kx(t)} ,

где:

  • y ( t ) {displaystyle y(t)} — выходная величина;
  • x ( t ) {displaystyle x(t)} — входная величина;
  • k = b 0 a 0 {displaystyle k={frac {b_{0}}{a_{0}}}} — коэффициент усиления звена;
  • T = a 1 a 0 {displaystyle T={frac {a_{1}}{a_{0}}}} — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.

Временные характеристики

Переходная функция:

h ( t ) = k ( 1 − e − t T ) {displaystyle h(t)=k(1-mathrm {e} ^{-{frac {t}{T}}})}

Весовая функция:

w ( t ) = k T e − t T {displaystyle w(t)={frac {k}{T}}mathrm {e} ^{-{frac {t}{T}}}}

Передаточная функция

Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путём применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа:

T s Y ( s ) + Y ( s ) = k X ( s ) {displaystyle TsY(s)+Y(s)=kX(s)} , Y ( s ) [ T s + 1 ] = X ( s ) k {displaystyle Y(s)[Ts+1]=X(s)k} . W ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = k T s + 1 {displaystyle W(s)={frac {Y(s)}{X(s)}}={frac {k}{Ts+1}}}

Комплексная передаточная функция получается при подставлении вместо s {displaystyle s} комплексной переменой j ω {displaystyle jomega } .

Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число ( 1 − j ω T ) {displaystyle (1-jomega T)} :

W ( j ω ) = k 1 + j ω T ⋅ 1 − j ω T 1 − j ω T = k − j ω T k 1 + ω 2 T 2 = k 1 + ω 2 T 2 − j ω T k 1 + ω 2 T 2 {displaystyle W(jomega )={frac {k}{1+jomega T}}cdot {frac {1-jomega T}{1-jomega T}}={frac {k-jomega Tk}{1+omega ^{2}T^{2}}}={frac {k}{1+omega ^{2}T^{2}}}-j{frac {omega Tk}{1+omega ^{2}T^{2}}}} R e { W ( j ω ) } = k 1 + ω 2 T 2 {displaystyle mathrm {Re} left{W(jomega )
ight}={frac {k}{1+omega ^{2}T^{2}}}} I m { W ( j ω ) } = − ω T k 1 + ω 2 T 2 {displaystyle mathrm {Im} left{W(jomega )
ight}=-{frac {omega Tk}{1+omega ^{2}T^{2}}}}

АФЧХ

Амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной передаточной функции:

W ( s ) = 2 0.1 s + 1 {displaystyle W(s)={frac {2}{0.1s+1}}}

ЛАФЧХ

Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной выше передаточной функции.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания частот ω < 1 T {displaystyle omega <{frac {1}{T}}} проходят через апериодическое звено 1-го порядка с отношением выходной и входной амплитуд близким к коэффициенту передачи звена k {displaystyle k} . Колебания частот ω > 1 T {displaystyle omega >{frac {1}{T}}} проходят со значительным уменьшением амплитуды, следовательно «плохо пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени T {displaystyle T} , а следовательно, чем меньше инерционность звена, тем более растянута амплитудная характеристика вдоль оси частот и больше полоса пропускания частот данного звена. Аналогично, в случае фазовой характеристики, чем меньше постоянная времени T {displaystyle T} , тем более растянута фазовая характеристика вдоль оси частот и меньше фазовые сдвиги между выходными и входными колебаниями. Угол отставания с увеличением частоты растет, а амплитуда колебаний на выходе падает. Предельный угол отставания равен -π/2.

После подачи на вход возмущающего воздействия отклонение выходной величины будет изменяться по экспоненте с максимальной скоростью в начальный момент. Затем скорость уменьшается до нуля, а выходная величина достигает нового установившегося значения.

В системах автоматического управления в качестве апериодического звена могут выступать двигатели постоянного тока, сопротивления и индуктивности, нагревательная камера, гидравлическая система с дросселем на выходе и др.

В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка.

Апериодическое звено второго порядка

Уравнение апериодического звена 2-го порядка имеет вид
T 2 2 d 2 x 2 d t 2 + T 1 d x 2 d t + x 2 = k x 1 {displaystyle T_{2}^{2}{frac {d^{2}x_{2}}{dt^{2}}}+T_{1}{frac {dx_{2}}{dt}}+x_{2}=kx_{1}} ,

Передаточная функция апериодического звена 2-го порядка:
W ( s ) = k T 2 2 s 2 + T 1 s + 1 {displaystyle W(s)={frac {k}{T_{2}^{2}s^{2}+T_{1}s+1}}}

Два последовательно соединенных апериодических звена 1-го порядка, могут быть представлены как апериодическое звено 2-го порядка с общим коэффициентом усиления.

Примеры применения

Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь, где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.

Подпишитесь на свежую email рассылку сайта!

Читайте также