Аффинная эквивалентность

Июнь 22, 2021 / Комментарии 0

Два множества A , B ∈ R n {displaystyle A,Bin mathbb {R} ^{n}} называются аффинно эквивалентными, если существует аффинное преобразование f : R n → R n {displaystyle f:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}} , переводящее A {displaystyle A} в B {displaystyle B} , т.е. f ( A ) = B {displaystyle f(A)=B} .

Аффинная эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств P ( R n ) {displaystyle {mathcal {P}}(mathbb {R} ^{n})} множества R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} и, в частности, на любом подмножестве X ⊂ P ( R n ) {displaystyle Xsubset {mathcal {P}}(mathbb {R} ^{n})} .

Например, если X ⊂ P ( R 2 ) {displaystyle Xsubset {mathcal {P}}(mathbb {R} ^{2})} —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то аффинная эквивалентность разбивает его на четыре класса эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные коники:

  • x 2 + y 2 = 1 {displaystyle x^{2}+y^{2},=1} — вещественная единичная окружность;
  • x 2 − y 2 = 1 {displaystyle x^{2}-y^{2},=1} — равнобочная гипербола;
  • y = x 2 {displaystyle y=x^{2}} — стандартная парабола;
  • x 2 + y 2 = − 1 {displaystyle x^{2}+y^{2},=-1} — мнимая окружность.

Другими словами, аффинная эквивалентность доставляет аффинную классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости аффинно эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

Подпишитесь на свежую email рассылку сайта!

Читайте также